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La précision des mesures Objectif général


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Expérience 1 - La précision des mesures

La précision des mesures

Objectif général :

S’initier à la prise de mesures et à l’évaluation de l’incertitude.


Objectifs spécifiques :

Identifier les instruments de mesure courants.

Utiliser correctement les instruments de mesure courants.

Distinguer les notions de mesure, d’incertitude et d’erreur.

Noter des mesures en tenant compte de l’incertitude des instruments utilisés.

Présenter les valeurs mesurées dans un tableau selon les normes établies.



la théorie

la mesure et l’incertitude
Toute science repose fondamentalement sur des observations. Une observation quantitative, ou mesure, comporte toujours deux éléments : un nombre et une échelle (appelée unité). Pour qu’elle soit significative, toute mesure doit comporter au moins ces deux éléments.
Pour obtenir le nombre associé à une unité de mesure, on utilise un instrument de mesure. Considérons par exemple la mesure du volume d’un liquide écoulé d’une burette (un instrument de volumétrie, voir p. 8). Lorsqu’à la lecture de l’échelle on note une valeur de 22,2 mL, cela signifie qu’environ 22,2 mL de liquide sont sortis de la burette (en supposant qu’au départ le ménisque avait été ajusté à la valeur 0,0 mL de l’échelle). Le dernier chiffre de cette valeur lue sur l’échelle est estimé, puisque plusieurs facteurs le rendent incertain : la précision de la graduation de l’échelle, la position du bas du ménisque par rapport à la division de l’échelle, la position de l’oeil de l’expérimentateur par rapport au ménisque, etc. En effet, cinq personnes prenant la même mesure pourraient noter des valeurs différentes pour le dernier chiffre. Les autres chiffres étant généralement les mêmes, on les dit certains car ils sont reliés à une plus grande division de l’échelle de mesure. Donc, quand on effectue une lecture, on doit noter tous les chiffres certains, ainsi que le premier chiffre incertain. Ce chiffre incertain est estimé selon la plus petite division de l’échelle.
On peut voir qu’une même mesure entraîne une variabilité des valeurs notées. Ce degré d’incertitude est toujours une caractéristique de la mesure et sa grandeur dépend de la précision de l’instrument de mesure utilisé. Lors de la lecture, il faut noter tous les chiffres certains ainsi qu’un premier chiffre incertain. L'incertitude est l'écart maximal estimé entre la valeur mesurée et la valeur réelle. Lorsque l’incertitude d'un instrument n'est pas connue, on considère par convention qu'elle est la moitié de la plus petite division pour un instrument gradué, et ± 1 sur le dernier chiffre donné par l'instrument pour un appareil à affichage numérique.
la mesure et la lecture
Certains instruments gradués, comme une règle ou une burette, impliquent deux lectures pour chaque mesure effectuée, entraînant que l'incertitude est deux fois la moitié de la plus petite division. Si, par exemple, on mesure la longueur d'un objet à l'aide d'une règle dont la plus petite division est 1 mm, il y aura une incertitude de ± 0,5 mm à chacune des extrémités de l'objet mesuré, ce qui donnera une incertitude de ± 1 mm sur la mesure, comme le montre l’exemple suivant :
Pour mesurer la longueur d’une ligne, on peut utiliser une règle graduée en millimètres (mm). L’incertitude, dans ce cas, correspond à la moitié de la plus petite division. La plus petite division étant 1 mm, l’incertitude est donc de 0,5 mm.

Cependant, lorsqu’on ajuste le début de la ligne à la valeur 2 cm sur la règle, la lecture de l’échelle engendre une première incertitude de 0,5 mm. De plus, la prise de lecture à la fin de la ligne à 6 cm sur la règle comporte aussi une incertitude de 0,5 mm.






La mesure de la longueur nécessite deux lectures sur l’échelle de la règle, chacune étant associée à une incertitude de 0,5 mm. Ainsi l’incertitude absolue totale sur la mesure est de 1 mm. On écrira donc



(40  1) mm ou (4,0  0,1) cm
D'autres instruments gradués, comme le thermomètre, n'impliquent qu'une seule lecture lors de la mesure ce qui entraîne que l'incertitude est simplement la moitié de la plus petite division. Il faut donc, chaque fois qu'on utilise un instrument gradué, se demander si l'on effectue une ou deux lectures pour effectuer la mesure.
la mesure et son écriture
L'écriture d'une mesure doit tenir compte de l'incertitude de l'instrument utilisé, qu’il s’agisse d’un instrument gradué ou d’un appareil à affichage numérique. Par exemple, si le volume d’un liquide mesuré à l’aide d’un cylindre gradué aux 1 mL donne une valeur de 57,3 mL, cela signifie que les chiffres 5 et 7 sont certains (puisque le ménisque serait situé entre 57 et 58) et que le 3 est incertain car il est estimé entre deux graduations de l’échelle. L’incertitude reliée à cette valeur est notée + 0,5 mL (la moitié de la plus petite division). En effet, en écrivant comme résultat de la mesure la valeur (57,3 + 0,5) mL, on tient compte de la possibilité que la valeur exacte se trouve dans un intervalle allant de 56,8 mL à 57,8 mL.
En ce qui concerne les appareils à affichage numérique, la dernière décimale indiquée par l’appareil constitue le premier chiffre incertain et l’incertitude correspond à la plus petite décimale car il est impossible sur ce genre d’appareil de faire une estimation entre deux graduations puisqu’il n’y en a pas ! Ainsi, si une balance de précision à affichage numérique dûment calibrée indique une valeur de 3,5467 g lors de la pesée d’un objet, les chiffres certains sont 3, 5, 4 et 6 et le chiffre incertain est le 7, alors que l’incertitude est de + 0,0001 g. Cela signifie que la valeur exacte se situe dans l’intervalle 3,5466 g à 3,5468 g. Les chiffres certains et le chiffre incertain d’une mesure sont appelés chiffres significatifs.
L’incertitude peut s’écrire sous deux formes : l’incertitude absolue (I.A.) conserve les mêmes unités de mesure, qui sont écrites après l’incertitude : (57,3 + 0,5) mL, et l’incertitude relative (I.R.), utile dans les calculs, est exprimée en pourcentage. Dans notre exemple du cylindre gradué, l’incertitude relative est obtenue en faisant le calcul suivant :
I.R. = 0,9 %
La mesure exprimée avec l’incertitude relative s’écrit avec les unités après la mesure, donc ainsi : 57,3 mL à 0,9 %. Il est à remarquer que sous cette forme, l’incertitude n’a plus les mêmes unités que la valeur mesurée. C’est ce qui la rend utile lors de calculs complexes.
Puisque, lors d’une mesure, on détermine l’incertitude à partir de la précision de l’instrument de mesure et que cette incertitude porte sur le chiffre incertain de la mesure, il en découle que l’incertitude absolue ne comporte toujours qu’un seul chiffre significatif. C’est donc en fonction de ce chiffre qu’on peut déterminer le nombre de chiffres significatifs que l’on conserve dans la mesure. Par exemple, si l’incertitude porte sur les dixièmes d’unité, la valeur mesurée est arrondie au dixième, et ainsi de suite. De plus, pour respecter l’ordre de grandeur, la valeur mesurée et l’incertitude sont exprimées avec le même exposant dans la notation scientifique. Quant à l’incertitude relative, elle comporte 1 ou 2 chiffres significatifs, selon la grandeur de l’incertitude. Pour déterminer le nombre de chiffres significatifs d’une mesure écrite avec l’incertitude relative, il faut la convertir en incertitude absolue.
Voici quelques exemples de ce qui précède :

(27,75 + 0,05) °C  27,75 °C à 0,2 %

(12,9830 + 0,0002) g  12,9830 g à 0,0015 %

45,6 mL à 2,5 %  (45,6 + 1,14) mL donc (46 + 1) mL

(1,9 + 0,2)  10-2 mol/L  1,9  10-2 mol/L à 10 %
les chiffres significatifs
Le concept de nombre a une signification particulière en sciences appliquées. Alors qu’en mathématiques, la quantité de chiffres dans un nombre peut être illimitée, en sciences appliquées, elle est toujours restreinte car elle reflète la limite de précision des instruments de mesure. Les chiffres utiles, ceux qui tiennent compte de la précision et de l’incertitude d’une mesure, sont dits significatifs. Ce sont eux qui servent à traduire le degré de précision d’une mesure, et c’est la raison pour laquelle on doit connaître le nombre adéquat de chiffres significatifs qu’ils faut conserver dans une mesure. Il existe quelques règles afin de déterminer le bon nombre de chiffres significatifs.

Règle 1 : Tout chiffre différent de zéro est significatif.
Exemple : 1,8554 g comprend cinq chiffres significatifs.

Règle 2 : Les zéros placés entre deux chiffres significatifs sont significatifs.
Exemple : 6,07 cm comprend trois chiffres significatifs.

Règle 3 : Les zéros placés à gauche du premier chiffre différent de zéro ne sont pas significatifs.
Exemple : 0,00325 ne contient que 3 chiffres significatifs (3, 2, et 5), les zéros ne servant qu’à indiquer la position de la virgule décimale. D’ailleurs, ces zéros disparaissent lorsqu’on utilise la notation scientifique ou exponentielle. Selon cette dernière notation, la virgule décimale est placée après le premier chiffre différent de zéro et sa position est précisée à l’aide d’un exposant. Ainsi, le nombre 0,00325 s’écrit 3,25 x 10-3 en notation scientifique, ce qui met en évidence les 3 chiffres significatifs.

Règle 4 : Les zéros placés à droite sont significatifs s’ils sont placés après la virgule.
Exemples : 300 n’a qu’un seul chiffre significatif

2,460 comprend quatre chiffres significatifs


NOTE : Si on désire que le nombre 300 ait trois chiffres significatifs il suffit de le convertir en notation scientifique. Ainsi 300 (1 c.s.) devient 3,00  102 et contient maintenant trois chiffres significatifs.

Règle 5 : Les nombres exacts sont considérés comme ayant un nombre infini de chiffres significatifs.

Ils ne sont donc pas limitatifs. Ces nombres sont obtenus non pas en utilisant un appareil de mesure mais plutôt par comptage (ex : 8 molécules), par l’utilisation d’une formule mathématique (ex. : le 4 et le 3 de 4/3  r3) ou par définition. Par exemple, par convention, le pouce mesure exactement 2,54 cm. Donc dans l’expression 1 po = 2,54 cm, ni le 1 ni le 2,54 n’influencent le nombre de chiffres significatifs dans les calculs.




les chiffres significatifs dans les calculs
Il faut souvent effectuer des calculs à partir de valeurs mesurées pour obtenir le résultat final d’une expérience. Or, la précision des mesures doit se refléter dans le résultat obtenu. Il est logique de penser qu’un résultat ne peut pas être plus précis que les mesures qui ont servi à le calculer. Pour tenir compte de cette transmission de l’incertitude dans les résultats, on doit se fier à quelques règles de base pour déterminer le nombre de chiffres significatifs du résultat final. Cependant, ces règles ne constituent pas une méthode exacte. Il existe en effet d’autres méthodes de calcul plus précises mais parfois compliquées. Les règles ci-dessous mènent à une bonne approximation et permettent de sauver du temps tout en donnant des résultats très rapprochés de ceux qui seraient obtenus par des calculs plus complexes.
Règle 6 : addition et soustraction : Le résultat d’une addition ou d’une soustraction a autant de décimales que la mesure (utilisée dans le calcul) qui en a le moins.

Exemple : 20,325

+ 3,3432

+ 0,4

24,0682


Le résultat corrigé est 24,1 puisque le dixième est le premier chiffre incertain (provenant de 0,4).
Règle 7 : multiplication et division : Le résultat d’une multiplication ou d’une division

a le même nombre de chiffres significatifs que la mesure (utilisée dans le calcul) qui en a le moins.

Exemple : Le volume d’une sphère dont le rayon est de 5,3 cm est calculé de la façon suivante : 4/3  r3 = 4/3 x 3,1416 x (5,3)3 = 623,61598 cm3. En tenant compte des chiffres significatifs, le résultat est 6,2 x 102 cm3 puisque la mesure ayant le moins de chiffres significatifs dans ce calcul est le rayon (5,3 cm) ; les chiffres 4 et 3 formant un nombre exact ont une précision infinie.
Règle 8 : logarithmes et exposants : Certains calculs en chimie, par exemple le calcul du pH, nécessitent l’utilisation des logarithmes et des exposants. Pour être en mesure de déterminer le nombre de chiffres significatifs qu’il faut retenir en effectuant une telle opération, il faut d’abord se rappeler qu’un logarithme est composé d’une partie entière, le déterminant, et d’une partie fractionnaire, la mantisse. Par exemple, le logarithme de 156 en base 10 est 2,193. Ici, le déterminant est 2 et la mantisse est 0,193.
La règle à appliquer consiste à attribuer à la mantisse le même nombre de chiffres significatifs qu’on trouve dans la valeur dont on calcule le logarithme. La raison est que le déterminant ne fait qu’indiquer un ordre de grandeur ; par exemple, log 1,56 x 102 = 2,193 et log 1,56 x 1010 = 10,193. On constate que le déterminant dépend uniquement de l’exposant alors que la mantisse ne dépend que du nombre 1,56. Comme ce nombre a 3 chiffres significatifs, il y en aura 3 dans la mantisse.
Si on fait l’inverse d’un logarithme, c’est-à-dire si on affecte d’un exposant le nombre 10 (ou le nombre e = 2,71828 pour les logarithmes naturels), la réponse aura le même nombre de chiffres significatifs que la partie fractionnaire de l’exposant (la mantisse). Cette règle est donc la même que ci-dessus exprimée différemment.
règles permettant d’arrondir un nombre
1. Dans une série de calculs, on doit conserver les chiffres supplémentaires jusqu’au résultat final ; après quoi, il faut arrondir.

2. Si le chiffre à éliminer est :

a) inférieur à 5, le chiffre précédent demeure le même (ex. : 1,33 devient 1,3).

b) supérieur ou égal à 5, le chiffre précédent est majoré de 1 (ex. : 1,36 devient 1,4).


la précision et la reproductibilité
Toute mesure n’est pas nécessairement digne de confiance. Pour en certifier la fiabilité, on doit obtenir une réponse affirmative à ces deux questions : La mesure est-elle précise ? Est-elle reproductible ?
La précision d’une mesure dépend de la précision de l’instrument utilisé. Un instrument de précision, lorsque bien calibré et bien utilisé, fournit une mesure très voisine de la valeur exacte recherchée. Cependant, une erreur de manipulation ou de lecture est toujours possible : on peut donc difficilement se fier à une seule mesure. Il est alors important d’effectuer plusieurs mesures pour s’assurer de leur reproductibilité, c’est-à-dire vérifier si elles donnent des valeurs rapprochées.
Il ne faut pas confondre incertitude et erreur. Un instrument de mesure possède toujours une incertitude mais donne quand même à l'occasion une mesure conforme à la valeur réelle. L'erreur est l'écart entre la valeur mesurée et la valeur réelle. Deux types d’erreurs peuvent se produire lors de la prise de mesures. D’abord, l’erreur fortuite dont on ne peut prévoir le sens : elle peut être parfois une variation positive ou parfois négative par rapport à la valeur réelle. Ce type d’erreur survient toujours lorsqu’on estime la valeur du premier chiffre incertain d’une mesure. L’erreur systématique, quant à elle, a toujours lieu dans le même sens : soit toujours une variation positive ou toujours une variation négative par rapport à la valeur exacte. Ce type d’erreur survient, par exemple, lorsque l’instrument de mesure est mal calibré ou défectueux.
Le calcul de la moyenne d’une série de mesures reproductibles permet d’éliminer en partie l’effet des erreurs fortuites qui ont une égale probabilité de se produire. La valeur moyenne est donc considérée comme étant très proche de la valeur exacte recherchée. Cependant, cela n’est vrai qu’en l’absence d’erreur systématique. Donc, une grande reproductibilité concernant plusieurs mesures est synonyme d’exactitude seulement si on est sûr de l’absence d’erreurs systématiques.
les manipulations à effectuer
Les instruments de mesure suivants seront disponibles au laboratoire :

1° mesure de volume (volumétrie) :

bécher cylindre gradué erlenmeyer burette pipettes



2° mesure de masse : balance de précision.

3° mesure de température : thermomètre.

4° mesure de pression : baromètre.
Par équipes de deux, les étudiants auront à effectuer les mesures indiquées ci-après et à inscrire les valeurs obtenues, ainsi que les incertitudes qu’ils auront déterminées, au tableau noir du laboratoire qui aura été préparé à cet effet.
Par la suite, le professeur apportera les correctifs nécessaires, s’il y a lieu.

Mesures à effectuer :

Volume d’eau :

contenue dans un bécher de 100 mL : ±

contenue dans un cylindre gradué de 50 mL : ±

délivrée par une burette de 25 mL : ±

délivrée par une pipette graduée de 10 mL : ±

délivrée par une pipette graduée de 1 mL : ±


Masse d’une bille de verre :

• à l’aide d’une balance précise à ± 0,0002 g : ±

• à l’aide d’une balance précise à ± 0,02 g : ±
Dimensions d’un cylindre de métal : (à l’aide d’une règle graduée en mm)

• longueur : ±

• diamètre : ±
Température de l’eau :

• à l’aide d’un thermomètre gradué aux 1 °C : ±

• à l’aide d’un thermomètre gradué aux 0,1 °C : ±
Pression atmosphérique :

• à l’aide d’un baromètre gradué en millibars : ±

(convertir en kPa)
le compte-rendu
Chaque équipe de 2 élèves aura à remettre un compte-rendu de laboratoire à la prochaine séance de laboratoire (ou selon les indications du professeur).
La page de présentation d’un compte-rendu doit inclure les informations suivantes :


  • le nom des étudiant(e)s

  • la date de remise du travail

  • le numéro du groupe

  • le titre de l’expérience

  • le nom du professeur

  • le nom du département de chimie.

La qualité du français, la mise en page et la propreté seront évaluées.


Le compte-rendu devra comprendre les éléments suivants :
I. Construire un tableau des lectures : Ce tableau réunit toutes les valeurs mesurées par les élèves de toutes les équipes. Il devra être présenté sur une seule page et il devra respecter les normes énoncées dans le document Présentation des tableaux de données que vous trouverez en annexe (ce qui implique que les erreurs devront être corrigées). Vous devez obligatoirement le produire à l’aide du logiciel Excel.
II. Donner la définition des termes suivants (en vous référant au texte de l'expérience) :


  • mesure

  • incertitude

  • erreur

  • erreur fortuite

  • erreur systématique

(suite )

III. Répondre aux questions suivantes :


1. Quel est le nombre de chiffres significatifs dans chacune des mesures suivantes :

  1. 56,0 mL _______________

  2. 60 104 kg _______________

  3. 2900 g _______________

  4. 40,2 g/mL _______________

  5. 0,0003 cm _______________

2. Donnez la répondre des opérations suivantes, avec le nombre adéquat de chiffres significatifs :



  1. 5,6792 m + 0,6 m + 4,33 m _______________

  2. 3,70 g – 29133 g _______________

  3. 4,51 cm x 3,6666 cm _______________

  4. 7,310 km / 5.70 km _______________

  5. 3,26 x 10-3 mg – 7,88 x 10-5 mg _______________




  1. Corrigez, si nécessaire, les mesures suivantes, en tenant compte des chiffres significatifs :

  1. (567,441 ± 6,2) km _______________

  2. (0,0520 ± 0,020) g _______________

  3. (0,00320 ± 0,00001) L _______________




  1. Exprimez les mesures suivantes avec leur incertitude absolue :

  1. 121,2 m à 3,1% _______________

  2. 1,00 kg à 1,5% _______________




  1. Exprimez les mesures suivantes avec leur incertitude relative :

a) (10,30 ± 0,01) mL _______________

b) (3,61 ± 0,01) x 10-2 eV _______________




  1. De ces trois mesures, laquelle est la plus précise ? Démontrez avec les calculs nécessaires. a) 2,06 ± 0,02 mL _______________

b) 0,0115 ± 0,0001 mL _______________ réponse : _______________

c) 29,21 ± 0,02 mL _______________







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