Ana səhifə

Sayısal Analiz Ders Notları Ders 2 Deniz UÇar matrisler matris veya dizey


Yüklə 32.49 Kb.
tarix27.06.2016
ölçüsü32.49 Kb.
Sayısal Analiz Ders Notları

Ders 2
Deniz UÇAR

Matrisler


matris veya dizey, dikdörtgen bir sayılar tablosu veya daha genel bir açıklamayla, toplanabilir veya çarpılabilir soyut miktarlar tablosudur. Dizeyler daha çok doğrusal denklemleri tanımlamak, doğrusal dönüşümlerde (lineer transformasyon) çarpanların takibi ve iki parametreye bağlı verilerin kaydedilmesi amacıyla kullanılırlar. Dizeylerin toplanabilir, çıkartılabilir, çarpılabilir, bölünebilir ve ayrıştırılabilir olmaları, doğrusal cebir ve dizey kuramının temel kavramı olmalarını sağlamıştır.

Tanım [değiştir]


m ve n pozitif tamsayılar, ve olmak üzere ai,j sayma sayılarından oluşan yukarıdaki sayılar tablosuna matris (dizey) denir. m, matrisin satır sayısını; n ise matrisin sütun sayısını belirtir. m satır ve n sütundan oluşan matrise mxn türünden matris denir.

mxn türünden bir A matrisi şeklinde gösterilir. aij elemanında i indisi elemanın bulunduğu satır numarasını, j ise elemanın bulunduğu sütun numarasını gösterir.

Satır sayısı sütun sayısına eşit olan matrislerdir.



A dizeyi 2x2 türünden bir kare matrisdir.

Kare matris [değiştir]


Satır sayısı sütun sayısına eşit olan matrislerdir.

A dizeyi 2x2 türünden bir kare matrisdir.

Birim matris [değiştir]


Kare matrislerin yaygın bir örneği ise, köşegenin üzerindeki öğelerinin 1 geri kalan yerlerdeki öğelerin 0 olduğu birim matristir. Satır ve sütun sayısı n olan bir birim matrisi göstermek için (başka bir yerde kullanılmamışsa) genelde In kullanılır. Mesela, 3x3'lük bir birim matris

şeklinde gösterilir.


Sıfır matris [değiştir]


Tüm elemanları sıfır olan matrisdir.

A dizeyi 2x3 türünden bir sıfır matrisdir.

Satır ve sütun matris [değiştir]


Sadece bir satırdan oluşan matrislere satır, sadece bir sütundan oluşan matrislere ise sütun matris denir.


3.3.3 BAND MATRİS (KUŞAK MATRİSİ)

Matrisin sadece diyagonale yakın elemanların sıfırdan farklı olduğu matrise denir.

Aşağıdaki matris bir kuşak matristir ve kuşak genişliği 2 dir.



3.3.4 ÜST ÜÇGEN MATRİS VE ALT ÜÇGEN MATRİS

Bir kare matrisin diyagonal elemanların altıda kalan her eleman sıfıra eşitse üst üçgen matris ve

eğer diyagonal elamanların üstünde kalan her eleman sıfıra eşitse buna da alt üçgen matris

denir. Tanıma göre aşağıda gösterilen U matrisine üst üçgen matris (Upper triangler matrix) ve



L matrisine de alt üçgen matris (Lower triangle matris) denir. Genelliklerde bunlar U ve L

notasyonlar ile gösterilirler.



MATRİSLERDE MATEMATİKSEL İŞLEMLER

Matris toplaması [değiştir]


Matrisler bileşenleri karşılıklı olarak toplanırlar.

İki matrisin toplanabilmesi için satır ve sütün sayılarının eşit olması gerekir.



cij = aij + bij

Örnek:



Sayıyla (Skalerle) çarpma


Bir matris, bir sayıyla çarpılırsa her bileşeni o sayıyla çarpılır.

cij = kaij

Örnek:


3.4.3 MATRİSİN BİR KATSAYI İLE ÇARPIMI

Bir A matrisinin bir skaler k ile çarpılması A matrisinin tüm elemanlarının k ile çarpılması

gerektirir. Matematiksel olarak aşağıdaki denklem ile verilmiştir.




3.4.4 MATRİS ÇARPIM

İki matrisin çarpımı (Am×n, Bn×m ) matrislerinin boyutlarına uygun olması halinde yapılabilir.

Boyutlarının uygun olması; A matrisinin kolon sayısının B matrisinin satır sayısına eşit olması

demektir ve çarpma işlemi aşağıdaki denklemdeki gibi yapılır.

Burada görüldüğü gibi birinci matrisin kolon sayısı ikinci matrisin satır sayısına eşitse çarpma

işlemi yapılabilir, aksi halde çarpma işlemi yapılamaz. Bundan dolay matris çarpma

işlemlerinde yer değiştirme özelliği yoktur. Fakat matris çarpımının dağılma özelliği vardır.

Matris çarpım için aşağıdaki özellikler yazılabilir.



3.4.5 DEVRİK MATRİS (MATRİS TRANSPOZESİ)

Matrisin kolon ve satırlarının yer değiştirilerek yazılmasına matrisin transpozu veya devriği denir

ve AT veya A’ ile gösterilir. Devriği alınmadan önce boyutlar m×n olan matrisin devriği

alındıktan sonra boyutlar n×m olur.


Tranpoz işlemlerinde bazı özellikler dikkate alınmalıdır. Toplama ve çarpma işlemlerinin

tranpoz işleminin üzerinde aşağıda verilen özellikleri vardır.



MATRİSLERİN DETERMİNANTI
Determinant, kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur.

Determinant fonksiyonun kare matrisi eşlediği o sayıya determinantı denir. A matrisinin determinantı detA ya da lAl şeklinde gösterilir. Mutlak değer ile karıştırılmamalıdır.


Eğer matrisimiz bir satır ve bir sutunluk bir matris ise determinant içindeki sayıya eşittir.

Eğer matrisimiz iki satır ve iki sutunluk bir matris ise



örnek

Sarrus kuralı

Matrisin 3x3 olması durumunda kullanılabilir. İlk ve ikinci satırı 4. ve 5. satırmış gibi yerleştirilip çaprazlama olarak çizilip toplanma esasına dayanır.



  • Eğer bir B matrisi A matrisinin satırlarının yer değiştirmesi ile A dan elde edilen bir matris ise det B = det A’dır.

  • Eğer bir B matrisi K gerçek sayısıyla A matrisinin bir satırının çarpılmasıyla A matrisinden elde edilen bir matris ise det B = K. det A ‘dır.

  • Bir matrisin herhangi bir satırını K ile çarpıp diğer bir satıra ekleyince veya herhangi bir sütunu K ile çarpıp diğer bir sutuna ekleyince determinantın değeri değişmez.

  • Bir A matrisinin iki satırı veya iki sutunu eşitse o zaman det A = 0’dır.

  • Eğer bir matrisin bir sütunu veya satırı 0 ise determinantı da 0 olur.

  • Bir köşegen, alt üçgen ya da üst üçgen matrisin determinantı köşegen elemanlarının birbirleri ile çarpımına eşittir.

Ör:


Birinci adımda ikinci satır ile birinci satırın yerlerini değiştirelim. Bu durumda matrisin işaretinin

değişmemesi için önüne işareti yazılır. İkinci adımda birinci satır üç parantezine alalım. Üçüncü

adımda birinci satır -2 ile çarpıp üçüncü satıra ekleyelim. Dördüncü adımda ikinci satır -10 ile

çarpıp üçüncü satıra ekleyelim. Beşinci adımda üçüncü satır -55 parantezine alınırsa, sonuç

det (A) = 165


Ör :



Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©atelim.com 2016
rəhbərliyinə müraciət