Ana səhifə

2 Lİneer denklem sistemleriNİn matris notasyonu gösteriMİ


Yüklə 35.95 Kb.
tarix27.06.2016
ölçüsü35.95 Kb.
2.BOLUM DOGRUSAL CEBIR VE DIFERANSIYEL DENKLEMLER

LİNEER SİSTEMLERİN MATRİS KULLANILARAK ÇÖZÜMÜ



2.1. LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİNİN MATRİS NOTASYONU GÖSTERİMİ

m eşitlik (denklem) ve n bilinmeyenden oluşan lineer denklem sisteminin matrisler ile gösterimi aşağıda gösterildiği gibidir. Daha önce de belirtildiği gibi x1, x2, ..., xn bilinmeyenleri, a'lar ve b'ler ise sabitleri ifade etmektedir.



2.1.1. Arttırılmış (Augmented) Matris

matrisine arttırılmış matris denir.





2.2. SATIR EŞDEĞER MATRİSLER

Bu kısımda elementer satır işlemleri tanımı ve bir matrisin satır eşdeğer matris şeklinde ifade edilmesi örnekleriyle birlikte incelenecektir.



  • 2.2.1. Elementer Matris İşlemleri Tanımı

  • 2.2.2. Bir Matrisin Satır Eşdeğer Matris Şeklinde İfade Edilmesi

2.2.1. Elementer Satır İşlemleri Tanımı

Bir A matrisindeki elementer satır işlemleri aşağıdaki işlemlerden biri olarak tanımlanmaktadır.




2.2.1.1. Örnek 4


















Matrislere ilişkin elementer satır dönüşümleri (işlemleri) yapıldığında her defasında A matrisinin başından başlama zorunluluğu yoktur.

2.2.1.2. Örnek 5




2.2.2. Bir Matrisin Satır Eşdeğer Matris Şeklinde İfade Edilmesi

Bir matris eğer aşağıda belirtilen kurallar sağlanırsa satır eşdeğer matris (Row echelon form) şeklindedir denir.


2.2.2.1. Örnek 6, 7, 8, 9, 10 ve 11




2.3. GAUSS ve GAUSS-JORDAN ELİMİNASYON YÖNTEMLERİ

Lineer denklem sistemlerinin çözümünü elde etmede kullanılan birçok yöntem vardır. İzleyen kısımlarda bu yöntemlerden ikisi olan Gauss ve Gauss-Jordan yöntemleri tanıtılacaktır. Burada nn boyutlu lineer denklem sistemleri ele alınacaktır. Daha sonraki bölümlerde mn boyutlu lineer denklem sistemlerinin çözümlerinden bahsedilecektir.



2.3.1. Gauss Yöntemi

şeklinde verilen bir lineer denklem sisteminin katsayılar matrisi A'nın



ve arttırılmış matrisin 'nin



şeklinde tanımlandığı önceki bölümde ele alınmıştı.



Elementer satır dönüşümleri yardımıyla arttırılmış matris 'nin A katsayılar kısmı asal köşegen elemanlar 1 olan bir üst üçgen matris haline dönüştürülürse matrisi yandaki şeklini alır.



Verilen katsayılar matrisinin elementer satır dönüşümleri yardımıyla yanda belirtilen eşdeğer bir matrisine dönüştürülerek lineer denklem sisteminin çözümünün elde edilmesi işlemi Gauss Eliminasyon Yöntemi olarak bilinmektedir.

2.3.1.1. Örnek 12



2.3.1.2. Örnek 13




2.3.2. Gauss-Jordan Eliminasyon Yöntemi

artırılmış matrisinin, elementer satır dönüşümleri yardımıyla, asal köşegen elemanları 1 olan yandaki matrise dönüştürüldüğünü varsayalım.



Verilen katsayılar matrisinin elementer satır dönüşümleri yardımıyla yanda verilen eşdeğer bir matrise dönüştürülerek lineer denklem sisteminin çözümünün elde edilmesi işlemi Gauss-Jordan Eliminasyon Yöntemi olarak bilinmektedir.

2.3.2.1. Örnek 14



2.4. TERS MATRİS

Bu kısımda matrisin tersinin tanımı ve ters matrislerin özellikleri incelenecektir.



2.4.1. Matris Tersinin Tanımı

A ve B n n boyutlu matrisler olsun. A ve B matrisleri AB = BA = In bağıntısını sağlıyorsa B'ye A'nın tersi denir ve B=A-1 ile gösterilir. A da B'nin tersidir ve A=B-1 yazılır.



Her nn boyutlu bir kare matrisin tersinin mevcut olması gerekmez.

2.4.1.1. Örnek 16



2.4.1.2. Örnek 17




2.4.2. Ters Matrislerin Özellikleri

Ters Matrislerin Özellikleri kapsamında ters matrislerle ilgili 4 adet özellik üzerinde durulup, her biriyle ilgili örnekler verilecektir.



2.4.2.1. Özellik 1,2 ve 3



2.4.2.1.1. Örnek 18




2.4.2.1.2. Örnek 19



2.4.2.1.3. Örnek 20


olarak eldeedilir.

2.4.2.2. Özellik 4



2.4.2.2.1. Örnek 21



2.5. MATRİS TERSİ YÖNTEMİ KULLANARAK LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ

n eşitlik ve n bilinmeyenden oluşan lineer denklem sisteminin AX=B şeklinde gösterildiğini varsayalım.



2.5.1. Örnek 22 ve Örnek 23





2.BOLUM DEĞERLENDİRME SORULARI









































Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©atelim.com 2016
rəhbərliyinə müraciət