Web Tabanlı Matris Laboratuarı
|
|  Yüklə 0.9 Mb.
|
| Web Tabanlı Matris Laboratuarı
Matrisler çeşitli dallardaki uygulamalarda önemli bir yere sahiptir. Bu nedenle pek çok amaç için matrisleri kullanmak zorunda kalabiliriz. Temel bilimlerde, mühendislikte, finansal alanlarda, tıpta ve daha birçok alanda matrislerle karşılaşabiliriz. Örneğin, fizikte yayın salımı olayı incelendiğinde bu olayı ifade eden denklemde matris kullanılır ve bu matrisin özvektörleri yayın hareketinin nasıl olacağını gösterir. Bilgisayarın çıkışı, programlama dillerinin gelişimi ile birlikte matrislerin incelenmesi için algoritmalar geliştirmeye ve çeşitli programlama dilleri ile programlar yazılmaya başlanmıştır. Günümüzde birçok matematiksel problemin çözümü için MATLAB, MAPLE, MATHEMATICA gibi paket yazılımlar çıkmış ve kullanılmaya başlanmıştır. Diğer yandan araştırmacıların ve öğrencilerin matris uygulamalarını yapabilmeleri için temel düzeyde bilgisayar bilgisi ve bir programlama dilini öğrenerek algoritma geliştirmesi yada bu paket yazılımlardan birini öğrenmesi gerekmektedir. Bu çalışmamızda matrislerle ilgili işlemleri altı sınıfa ayırarak her sınıfla ilgili uygulamalar interaktif bir şekilde web üzerinden kullanıcının hiçbir program bilgisine gerek kalmadan kolaylıkla irdeleyebilmesini hedefledik. Hedefimize ulaşabilmek içinde internetin iletişim dili olan HTML script dilini ve kullanıcı etkileşimini sağlamak ve algoritmaları yazmak için de sunucu tabanlı PHP script dilini kullanarak bir sistem hazırladık. Bu sisteme WebMatris ismini verdik. Sisteme girildiğinde aşağıdaki şekilde sistem arayüzü gelecektir. Sistem arayüzünde altı farklı alt menü ve lineer denklem sistemlerinin çözümlerini karşılaştırma imkanı veren giriş alanı mevcuttur. En üst sağda bulunan “Anasayfa” düğmesi, diğer arayüzlere geçildiğinde tekrar sistem arayüzüne dönmek için, “Çıkış” düğmesi ise, sistemden çıkmak için kullanılır.
Daha öncede söylediğimiz gibi matrislerle ilgili uygulamaları altı sınıfta inceledik. Şimdi bunlara kısaca bakalım. Matris İşlemleri MenusuSistem arayüzünden matris işlemleri üzerine gelindiğinde matris işlemleri ile ilgili alt menüler gelecektir. Bu menüler aşağıdaki gibidir: 
Şekil 2. Matris işlemleri alt menüleri Matris işlemleri kısmında “Matris toplam”, “Matris Fark”, “Matris çarpım” ve “Matris ters” gibi temel matris işlemleri yapılır. Bunlardan “Matris toplam” menusunu inceleyelim: “Matris toplam” için 
Şekil 3. Matris toplam için boyut seçimi Burada  ve  girilmelidir. Bu değerler seçildikten sonra “Gönder” butonuna basıldığı zaman karşımıza çıkan ekrandan  ve  matrislerinin elemanları girilmelidir.
Şekil 4. Matris toplam için matris elemanlarının girilmesi Matris elemanları girildikten sonra “Gönder” butonuna basıldığı zaman işlem tamamlanır ve 
Şekil 5. Matrislerin toplamlarının yazdırılması Matris Fonksiyonları MenusuSistem arayüzünden matris fonksiyonları üzerine gelindiğinde matris fonksiyonları ile ilgili alt menüler gelecektir. Bu menüler aşağıdaki gibidir: 
Şekil 6. Matris Fonksiyonları alt menüleri Matris fonksiyonları kısmında “Matris determinant”, “Matris Transpoz”, “Matris iz” ve “Matris Norm” gibi matrissel işlemler yapılır. Bunlardan bir tanesini inceleyelim: “Matris Transpoz ” için 
Şekil 7. Matris Transpoz için boyut seçimi Burada matris boyutu  ve  girilmelidir. Bu değer seçildikten sonra “Gönder” butonuna tıklanıldığı zaman karşımıza çıkan ekrandan matrisinin elemanları girilmelidir.
Şekil 8. Matris Transpoz için matris elemanlarının girilmesi Matris elemanları girildikten sonra “Gönder” butonuna tıklanıldığı zaman işlem tamamlanır ve matrisinin transpozu aşağıdaki gibi hesaplanır:
Şekil 9. Matrisin transpozunun yazdırılması Burada ayrıca matrisin simetrik olup olmadığı kontrol edilmektedir. Şayet matrisinin transpozu; matrisinin kendisine eşitse o zaman “matris simetriktir” mesajı, eşit değilse “matris simetrik değildir” mesajı ekrana yazdırılacaktır.
Matris Ayrışım MenusuSistem arayüzünden matris ayrışımı üzerine gelindiğinde matris ayrışımı ile ilgili alt menüler gelecektir. Bu menüler aşağıdaki gibidir: 
Şekil 10. Matris Ayrışımı alt menüleri Matris Ayrışım kısmında “LU Ayrışım”, “Cholesky Ayrışım”, “QR Ayrışım” vs. gibi matris ayrışım işlemleri yapılır. Bu yöntemler çalıştırılırken ilk önce ilgili kutucuktan denklem sayısı ve daha sonra sistemin kendisi ilgili arayüzden girilmelidir. 
Şekil 11. Matris Boyutunun girileceği arayüz 
Şekil 12. Matris Ayrışım için sistemin katsılarının girileceği arayüz (Burada matris boyutu 3 girilmiştir. İstenilen bir boyut da girilebilir.) Bu menülerden “LU Ayrışımı” için  matrisini ele alalım. Bu alt menü seçildiğinde karşımıza gelen arayüzden matrisin boyutu ve daha sonra karşımıza gelen ekrandan matrisinin elemanları girildikten sonra “Gönder” butonuna basıldığı zaman işlem tamamlanır ve matrisinin LU ayrışımı aşağıdaki gibi hesaplanır:
Şekil 13. Matrisin LU ayrışımının yazdırılması Bu arayüzde bulunan “Kontrol” butonu bu ayrışımının doğru olup olmadığını denetler. Bunun için de L ve U matrisleri çarpılır. Bu çarpımın sonucu şayet A matrisini veriyorsa bu ayrışım doğru yapılmıştır demektir. “Kontrol” butonuna basılırsa aşağıdaki arayüz karşımıza gelir. 
Şekil 14. Matrisin LU ayrışımının kontrol edilmesi Burada girilen A matrisi ile L ve U matrislerinin çarpımı karşılaştırılırsa bu iki matrisin birbirine eşit olduğu görülür. Bu da bize A matrisinin LU ayrışımının doğru olduğunu gösterir. WebMatris ile Lineer Denklem Sistemlerinin ÇözümüSistem arayüzünden Lineer Denklem Sistemi Çözümleri üzerine gelindiğinde Lineer Denklem Sistemi Çözümleri ile ilgili alt menüler gelecektir. Bu menüler aşağıdaki gibidir: 
Şekil 15. Lineer Denklem Sistemi Çözümleri alt menüleri Lineer denklem sistemleri çözümleri kısmında “Direkt Yöntemler”, “İteratif Yöntemler”, ve “Yöntem karşılaştırma” gibi işlemler yapılır. Bu yöntemler çalıştırılırken ilk önce ilgili kutucuktan denklem sayısı ve daha sonra sistemin kendisi girilmelidir. 
Şekil 16. Denklem sayısının girileceği arayüz 
Şekil 17. Sistemin katsılarının girileceği arayüz (Denklem Sayısı 3 girilmiştir. Bu değişebilir.) Direkt yöntemlerden “LU Ayrışım Metodu”’nu inceleyelim.  sistemini ele alalım. Sistemin katsayıları girildikten sonra lineer denklem sistemin çözümünü veren arayüz aşağıdaki gibi bulunacaktır.
Şekil 18. LU ayrışımından sonra sistemin çözümünü veren arayüz İteratif Yöntemlerden “Gauss-Seidel Yöntemi” yöntemini ele alalım.  sistemini göz önüne alalım. Bu sistemin “Gauss-Seidel Yöntemi” seçilerek çözümü için ilk önce denklem sayısı ilgili kutucuğa girilmelidir. Burada denklem sayısı üç girilmelidir.
Şekil 19. Gauss-Seidel yöntemi için denklem sayısının girilmesi Denklem sayısı seçildikten sonra aşağıdaki arayüzden sistemin katsayıları ve bu metotla ilgili diğer bilgiler kutucuklara girilmelidir. 
Şekil 20. Gauss-Seidel yöntemi için değerlerin girildiği arayüz Denklem katsayıları ve diğer yan şartlar girilip “Gönder” butonuna basılırsa bu sistemin çözümünü ve bu sistemle ilgili tablo değerlerini görebilirsiniz. 
Şekil 21. Gauss-Seidel yöntemi için sonuçların görüldüğü arayüz Yöntem karşılaştırma kısmında değişik yöntemlerin sonuçlarını bir arada görebiliriz. Bu şekilde yöntemler arasında karşılaştırma yapılabilir. Matris Özdeğer MenusuSistem arayüzünden matris özdeğer üzerine gelindiğinde matris özdeğer ile ilgili alt menüler gelecektir. Bu menüler aşağıdaki gibidir: 
Şekil 22. Matris Özdeğer alt menüleri Matris özdeğer kısmında özdeğer bulma algoritmaları olarak “Power metodu”, “Jacobi metodu” ve “QL metodu” kullanıldı. Ayrıca QL metodu için matris üçgensel olması gerektiğinden matrisi üçgensel yapmak için “Tridiagonalleştirme” işlemi yapılabilir. Bu alt menü veya diğer menüler için matris özdeğer ve özvektör hesaplamak için metot seçildiği zaman karşımıza gelen ekrandan ilk önce matris boyutu ve daha sonra ki ekrandan da matrisin elemanları girilmelidir. Bu ekranlar aşağıdaki gibidir: 
Şekil 23. Matris özdeğer için boyutun girildiği arayüz 
Şekil 24. Matris özdeğer için matrisin elemanlarının girildiği arayüz Şimdi ise Power metodunun nasıl çalıştığını inceleyelim. Bunun için  matrisini ele alalım. Matris boyutu ve daha sonra da matrisin elemanları girildiği zaman “Gönder” butonuna basıldığı zaman matrisin en büyük özdeğerinin ve bu özdeğere karşılık gelen özvektörü gösteren ekran gelir.
Şekil 25. Power metodundan sonra matrisin en büyük özdeğerini veren arayüz Özdeğer-özvektör tanımına göre  olacağını biliyoruz. “Kontrol” butonuyla bu eşitliğin sağlanıp sağlanmadığını görebilirsiniz. Şayet “Kontrol” butonuna basacak olursak aşağıdaki gibi ekran gelir. Buradan yukarıdaki şartın sağlandığını görürüz.
Şekil 26. Power metodunda kontrol ekranı Matris Uygulamaları MenusuSistem arayüzünden Lineer Denklem Sistemi Çözümleri üzerine gelindiğinde Lineer Denklem Sistemi Çözümleri ile ilgili alt menüler gelecektir. Bu menüler aşağıdaki gibidir: 
Şekil 27. Matris Uygulamaları menüleri Matrislerle ilgili uygulamalarda da “minimizasyon”, “kısıtlı minimizasyon”, ”birinci ve ikinci mertebeden diferensiyel denklem sistemleri” ve bazı fiziksel uygulamalar bulunur. Örneğin;  diferensiyel denklem sistemini web üzerinden çözelim. Uygulamalardan 1.mertebe diferensiyel denklem seçildikten sonra ilgili arayüzden denklem katsayıları ve başlangıç şartları girilmelidir.
Şekil 28. 1.mertebe diferensiyel denklem sistemleri için katsayıların girildiği arayüz Katsayılar girildikten sonra “Gönder” butonuna basılırsa ilk önce sistem yazdırılır ve sonra da bu sisteme karşılık gelen matrisin özdeğer ve özvektörleri hesaplanır. 
Şekil 29. 1.mertebe diferensiyel denklem sistemleri için girilen sistem İkinci kısımda ise bu özdeğer ve özvektörlerle oluşturulan sistemin çözümü ekrana yazdırılır. 
Şekil 30. 1.mertebe diferensiyel denklem sisteminin çözümlerinin yazıldığı ekran İkinci bir örnek olarak  diferensiyel denklem sistemini göz önüne alalım. Bu sistemin çözümünü web üzerinden yapmak için uygulamalardan 2.mertebe diferensiyel denklem sistemleri seçildikten sonra ilgili ara yüzden sistemin katsayıları girilmelidir.
Şekil 31. 2.mertebe diferensiyel denklem sistemleri için katsayıların girildiği arayüz Sistemdeki katsayılar girildikten sonra “Gönder” butonuna basılırsa ilk önce sistem yazdırılır ve daha sonra bu sisteme karşılık gelen matrisin özdeğer ve özvektörleri hesaplanır. 
Şekil 32. 2.mertebe diferensiyel denklem sistemleri için sistemin yazdırıldığı arayüz İkinci kısımda da bu özdeğer ve özvektörlerle oluşturulan sistemin çözümü ekrana yazdırılır. 
Şekil 33. 2.mertebe diferensiyel denklem sistemleri için sistemin çözümü |
ve 
matrislerini ele alalım. Bu alt menü seçildiğinde karşımıza gelen arayüzden matrislerin boyutunu seçebiliriz.
matrisini ele alalım. Bu alt menü seçildiğinde karşımıza gelen arayüzden matrisin boyutunu seçebiliriz.