Korona Króla Syrakuz

Bardzo dawno temu, Król Syrakuz zamówił u złotnika nową koronę. Dał mu 2 kilogramy złota i polecił mu wykonanie korony wedle najnowszej, na ówczesne czasy, mody. Prestiż królewski wymagał, żeby korona była ze szczerego złota, bez żadnych domieszek podlejszego kruszcu. Gdy korona była gotowa, wyglądała wspaniale. Jednak od tego czasu Król miewał stale bóle głowy. Podejrzewał, że złotnik go oszukał. Postanowił w końcu zasięgnąć porady znanego już i sławnego w tym czasie swojego poddanego, Archimedesa. Archimedes nie chciał dotykać korony, bo bał się podejrzliwego króla, ale obiecał pomyśleć i sprawę zbadać.

W Syrakuzach, w tych czasach, były zupełnie inne od naszych jednostki miar. W tłumaczeniu na centymetry i kilogramy, Archimedes myślał tak. Korona waży na pewno tyle, ile to złoto, które król dał złotnikowi, dwa kilogramy. To jest łatwo sprawdzić. Złotnik to wie. To się powinno zgadzać. Ale czy zgadza się również objętość?

Jeden kilogram złota ma w przybliżeniu około 50 centymetrów sześciennych. Czego mógł ten złotnik tam domieszać? Właściwie tylko srebra. Kilogram srebra ma blisko dwa razy taką objętość jak kilogram złota. Jeden kilogram srebra ma objętość okolo 100 centymetrów sześciennych. Jeżeli liczba x wyraża ilość srebra w koronie, a y ilość złota w kilogramach, to x+y = 2. Z drugiej strony, jeżeli korona jest z czystego złota, to powinna zajmować 100 cm³. Ale jeżeli ma domieszkę srebra, to będzie zajmować więcej miejsca. Poszedł więc do Króla i powiedział: trzeba zważyć koronę i upewnić się, czy na pewno waży 2 kilogramy. Jeżeli tak jest, trzeba ją wsadzić do naczynia pełniutkiego wody i zobaczyć ile wody wyleje się z niego do menzurki.

Okazało się, że z naczynia wylało się nie 100 cm³, ale prawie dokładnie 130 cm³. W tych czasach nie była znana jeszcze algebra i sztuka rozwiązywania równań. Archimedes miał jednak swoje sposoby. Zaczął kreślić cyrklem koła na piasku i różne linie proste i w końcu powiedział: ta korona ma niecałe półtora kilograma złota, a reszta to srebro. Głowa ciebie boli, Królu, nie bez przyczyny – złotnik cię oszukał.
Pytanie: czy wiesz skąd się wziął ten układ równań

x + y = 2

100x + 50y = 130
Spróbuj odpowiedzieć, czemu równa się x, a czemu y. Rozwiąż ten układ równań, czy twój wynik potwierdza to, co powiedział Archimedes? Ile procent było srebra, a ile złota w koronie?
(uwaga dla nauczyciela: zwykle pyta się o procentowy skład „na wagę” czyli porównuje się procentowo odpowiednie masy substancji. Ale można też porównywać objętości)


Na tym ekranie są widoczne dwa wykresy

Wykres funkcji y=2–x wyraża różne kombinacje masy srebra i masy złota przedstawione kilogramach. Jeżeli masa srebra w mieszaninie jest równa zeru, to masa złota musi być 2 kg. Ten wykres ma sens w przedziale od 0 do 2 . Archimedes założył, że złotnik będzie pilnował tego, aby korona ważyła dokładnie tyle, ile dostał złota, bo to łatwo sprawdzić. Natomiast nie przewidział, że znajdzie się ktoś, kto sprawdzi również objetość mieszaniny. To przedstawia drugi wykres. Drugi wykres opisuje takie mieszaniny srebra i złota, które mają taką objętość, jak wskazała wyparta woda z naczynia, w którym zanurzono koronę.

Drugi wykres,

ma sens jako model zadania w mniejszym przedziale, bo zarówno x, jak i y nie mogą być ujemne.

To są kombinacje srebra i złota przy założeniu, że objętość tej mieszaniny srebra i złota ma objętość taką, jak wskazuje menzurka, czyli 130 ml. Gdyby to było czyste złoto i miało taką objętość, jak wskazała menzurka, to byłoby go przeszło 2 kilogramy. Gdyby to było czyste srebro i miało taką objętość jak wskazała menzurka, to musiało by go być mniej niż półtora kilograma.

Przecięcie się tych wykresów daje rozwiązanie zadania. Odczytaj je z tych wykresów, a następnie rozwiąż układ równań.
Na wagę, czyli mierząc składniki wg. masy, w tej dwukilogramowej koronie było 3/5 kilograma srebra i 7/5 złota, t. zn. 30% srebra i 70% złota.

A na objętość?

Objętość korony była równa 130 ml. W tych 130 ml, w procentach objętości, srebra jest jest 0.6/1.3 a złota 0.7/1.3, tj. 0.6/1.3 ~= 0.46 kg/% złota i 0.7./1.3 ~=0.54% kg/% srebra.

kg/% jest skrótem oznaczającym kilogramy/procent, kilogramy na 100 ml objętości.

Nie można mówić o składzie procentowym bez podania czy porównuje się masy, czy objętości, czy też masy składników, np. w gramach, w pewnej ustalonej objętości np. w 100 mililitrach (tak podaje się skład mleka, można to sprawdzić na kartonach mleka).