Ana səhifə

MatriSİn tersiNİn bulunmasi 1 Matrisin Tersinin Bulunabilmesi İçin Gerekli Bilgiler Minör


Yüklə 56.69 Kb.
tarix27.06.2016
ölçüsü56.69 Kb.
‘BİR MATRİSİN TERSİNİN NÜMERİK YÖNTEMLERLE BULUNMASI’

MATRİSİN TERSİNİN BULUNMASI
1)Matrisin Tersinin Bulunabilmesi İçin Gerekli Bilgiler

Minör :  herhangi bir eleman olsun. Bu elemanın minörü; elemanın bulunduğu i.satır ve j. sütun silindiğinde geriye kalan matrisin determinantına eşittir.
Eş Çarpan : Herhangi bir elemanının eş çarpanı, o elemanın minörünün  ile çarpımıdır.
Transpoze : Bir A matrisinin aynı numaralı satırlarıyla sütunlarını yer değiştirerek elde edilen matristir.  şeklinde gösterilir. Buna göre A=] , mxn matrisi ise = ] nxm matrisidir.
Ek Matris : A matrisinin transpozesi alındıktan sonra, elemanların yerine eş çarpanlarının yazılmasıyla oluşturulmuştur matristir. AdjA şeklinde gösterilir. A AdjA = IAII dır.
2)Matrisin Tersinin Bulunması İçin Gerekli Şartlar

  • IAI  0  Determinantı sıfıra eşit olan matrislerin tersi yoktur.

  • A matrisinin tersinin bulunabilmesi için, A matrisi kare matris olmalıdır.

3)Ters Matris Bulma

A=), nxn kare matris olsun.



Tanım :

AB=I , BA=I

şartlarını sağlayan B matrisine A matrisinin tersi denir. Burada I, nxn birim matrisdir. Eğer A matrisi singüler değilse (det (A)0) ters matris vardır, tektir ve genellikle  ile gösterilir.


3.1.Kare Matrisin Tersi

A= IAI





Formülü elde edilir.



Örnek : A= matrisinin tersini bulun.

IAI=5 ise  matrisi vardır.

 ise;

A matrisinin eş çarpanları şu şekildedir.

=5 =0 =0

=8 =3 =-4

=-6 =-1 =3

A matrisinin transpozesi şu şekildedir;



Buna göre ;



Formülümüze tekrar dönersek;

idi.

Bulduklarımızı formülde yerine yazarsak;

 =  olarak bulunur.

3.2. Kanonik Hale Getirerek Matrisin Tersini Bulmak

A nxn birimlik bir matris olmak üzere;

 matrisinde gerekli satır işlemleri yapıldığında  matrisi elde edilir.

Örnek : matrisinin tersini bulunuz.

 

Buna göre;  olarak bulunur.

BİR MATRİSİN İNVERSİNİN BULUNMASI İÇİN NÜMERİK YÖNTEMLER


  1. Matrislerin Parçalanması Yöntemi ile:

Şeklindeki kare matrisin elemanlarını; A =  gibi bir kare matrise, A11 kare matris olmak koşulu ile dönüştürebiliriz.

Bu kare matrisin inversinin A-1 = B =  olduğu varsayılırsa AxB = I yani;

 X  =  elde edilir.

Dolayısıyla;  şeklinde , ,  ve ’yi bilinmeyen kabul eden bu 4 denklemden oluşan denklem sistemi karşımıza çıkar. A11’in kare matris olması koşulundan II. denklem  ile soldan çarpılırsa eğer;

 elde edilir.

Bu ’yi IV’de yerine yazarsak;

elde edilir. Bulduğumuz  , V.de yerine yazılırsa;

 olur.

Bu kez I. denklemini  ile soldan çarpalım;



Bu denklemi III’de yerine yazarsak;



elde edilir. VI’da yerine yazılırsa;

 elde edilir.

Burada küçük boyutlu matrisler kullanılmıştır. Dolayısıyla invers alma işlemi küçük matrislerle bilinen yöntemlerle yapılır. Ancak görüldüğü gibi çok fazla işlem gerektirmektedir. Bu metodta yapılacakları sırasıyla özetlersek;



  1. ’in inversi  hesaplanır.

  2.  hesaplanır.

  3.  hesaplanır.

  4.  çarpımı hesaplanır.

  5.  hesaplanır.

  6.  hesaplanır.

  7.  hesaplanır.

  8.  hesaplanır.

  9.  hesaplanır.

Örnek : A =  matrisinin inversini parçalama yöntemi ile bulunuz.

  = 



  1. 

  2. 

  3. 

  4. 

  5. 

  6. 

  7. 

  8. 

  9. 

    

Görüldüğü gibi bu yöntem hesaplayıcılarla çalışmak için uygun bir yöntem değildir. Çok büyük matrisler için kullanılır.



  1. Üçgenleştirme Yöntemi ile:

Bu yöntem  kare matrisinin kare determinantının  , ayrıca asal minörlerinin de  olduğunun bilinmesi halinde kullanılır.

L = Alt üçgen ve U = Üst üçgen olmakla birlikte;  ve  ,  olacak şekilde;

 

parçalara ayrılır. Bu durumda ;

  

L ve U matrisleri üçgen matrislerdir dolayısıyla inversleri de üçgen matris olacaktır. Ayrıca üçgen matrislerin inversleri daha az sayıda işlemle elde edilirler.



L ve U matrislerinin tekrarlanan işlemlerle elemanlarının çarpımı A matrisini bulmamızı sağlar. L ve U matrisinin elemanlarını ise aşağıdaki gibi elde edebiliriz:



  1.  için geçerli olan:

  1.  ise;



  1.  ise;



  1.  için geçerli olan:

  1.  ise;



  1.  ise;

L ve U matrisleri üçgen matris olduğundan tersleri de üçgen matris olacaktır.

 olmak üzere;

 olacağından;



Artık U matrisini bildiğimiz için T matrisini çarpma işleminden elde ettiğimiz denklemlerle bulabiliriz. Zaten bulacağımız T matrisi belirttiğimiz gibi U matrisinin tersidir.

 olacağından;


Aynu şekilde; L matrisini bildiğimiz için S matrisini çarpma işleminden elde ettiğimiz denklemlerle bulabiliriz. Zaten bulacağımız S matrisi belirttiğimiz gibi L matrisinin tersidir.

Örnek:  matrisinin tersini üçgenleştirme yöntemi ile L ve U matrislerini elde ederek bulunuz.






 olarak bulunmuş oldu. Şimdi ’i bulalım;

 olduğunu söylemiştik. S matrisi de alt üçgen matris olduğuna göre;




 olarak bulundu.

 olduğuna göre T matrisi de üst üçgen matristir. Buna göre;





 olarak bulundu.






  1. Direkt İnvers Alma Yöntemi ile:

 kare matrisinin singüler olmadığı () matris için ardışık tekrar işlemi sonucunda asal köşegen üzerindeki elemanların sıfırdan farklı olacağı kestiriliyorsa bu A matrisinin tüm elemanlarına her bir adımda daha önceden tanımlanmış elementer işlemler uygulanması suretiyle asal köşegen üzerindeki tüm elemanlar için takrarlanacak işlemler sonucu A matrisinin inversi olan matrisin ters işaretlisi bulunur. Bu yöntemde elementer işlem sayısı  mertebesindedir. Bu yöntemde her elementer işlemdeki aritmetik işlemlerin sayısı düşürülürse matrisin boyutu büyüdüğünde iş zamanın artacağı bir sakınca olarak görülür. Ayrıca matrisin determinantının sıfırdan farklı olacağı ve asal köşegen üzerindeki elemanların sıfırdan farklı olması gerekliliği de ayrı bir uğraştır. Bu yöntem verilen problem koşullarımıza uygun ise basit bir yöntem olarak kabul edilir.

Bu yöntemde asal köşegen elemanları pivot eleman seçilir ve matrisin elemanlarına aşağıdaki formüllerden ulaşılır:



  • 

  • 

  • 

  • 

’lük bir A matrisini göz önüne alalım ve formüllerle bu matrisin tersini elde edelim:



  •  olmak üzere  pivot eleman seçildi. Buna göre;







  •  olmak üzere  pivot eleman seçildi. Buna göre;







  •  olmak üzere  pivot eleman seçildi. Buna göre;





olarak bulunur. A matrisinin tersi bu işlemler sonucunda bulduğumuz  matrisinin ters işaretlisine eşittir. Yani;





Örnek:  matrisinin inversini direkt invers alma yöntemi ile bulunuz.

  •  olmak üzere  pivot eleman seçildi. Buna göre;









  •  olmak üzere  pivot eleman seçildi. Buna göre;










  •  olmak üzere  pivot eleman seçildi. Buna göre;







 olarak bulunur.



  1. Ardışık İterasyon Yöntemi ile:

 matrisinin normunun birden küçük olduğu biliniyorsa ()

böyle bir matrisin inversi yaklaşık olarak ardışık tekrar işlemleri uygulamak suretiyle bulunabilir. Bunun için herhangi bir A kare matrisi verildiğinde bu kare matrisin birim matris olan I matrisi ile cebirsel farkının inversinin hesaplanması işleminden faydalanılır. Buna göre (I-A)’ nın inversini bulmak isteyelim. Bunu ardışık işlemler kullanmak suretiyle hesaplayalım.

 gibi bir ardışık tekrar bağıntısı tanımlayalım.

Bir A kare matrisinin inversi olan matris B olarak varsayılırsa  gibi bir hata matrisi yazılabilir. Bu durumda ardışık tekrar tanımlamalarında her defasında başlangıçta bir keyfi yaklaşımla verilmiş olan  yardımı ile  yazılabilir. Başlangıçtan itibaren sonlu sayıda eleman almak yolu ile;  alınabilir. E hata matrisinin elemanları başlangıçta seçilen ’ dan küçük olacak şekilde bulunabilir. Bu şekilde bulunan  matrisi inversidir.





Örnek:  matrisleri veriliyor. A matrisinin tersini ardışık iterasyon yöntemi ile bulunuz.










Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©atelim.com 2016
rəhbərliyinə müraciət