umaRlesi maTematika 2 26.06.2016
leqcia 11
3.7. normaluri saxis pirveli rigis diferencialur
gantolebaTa sistemebi
ganvixiloT erTi cvladis n ucnobi funqciis Semcveli pirveli rigis n diferencialuri gantolebisgan Semdgari sistema, roca sistemis yoveli gantoleba Seicavs mxolod TiTo, erTmaneTisgan gansxvavebul, ucnobi funqciis warmoebuls da gantolebebi amoxsnilia am warmoebulebis mimarT, e. i.
, , (3.7.1)
sistema, sadac t damoukidebeli cvladia, xolo , , saZiebeli funqciebia. (3.7.1) gantolebebi arawrfivia, radgan funqciebi , , ucnobebis mimarT, sazogadod, arawrfivi funqciebia.
gansazRvra 3.7.1. (3.7.1) gantolebaTa sistemas ewodeba normaluri saxis pirveli rigis diferencialur gantolebaTa sistema.
gansazRvra 3.7.2. (3.7.1) sistemis amonaxsni raime intervalze ( da T fiqsirebulia) ewodeba uwyvetad diferencirebad (gawarmoebad) , , funqciebs, romlebic am intervalze akmayofileben (3.7.1) sistemas, e. i. mas igiveobad aqceven.
amocana 3.7.3. vipovoT (3.7.1) sistemis iseTi amonaxsni, romelic akmayofilebs
, , (3.7.2)
sawyis pirobebs, sadac , , mocemuli ricxvebia.
gansazRvra 3.7.4. (3.7.1), (3.7.2) amocanas ewodeba koSis amocana normaluri saxis pirveli rigis diferencialur gantolebaTa sistemisTvis.
Teorema 3.7.5. Tu , , funqciebi TavianTi argumentebis mimarT aris Caketvaze uwyveti funqciebia da, garda amisa, cvladebis mimarT akmayofileben lipSicis
(3.7.3)
pirobas, maSin arsebobs iseTi, rom (3.7.1), (3.7.2) koSis amocanas aqvs erTaderTi amonaxsni wertilis Semcvel midamoSi.
gansazRvra 3.7.6. Tu fiqsirebuli -sTvis davasaxelebT sxvadasxva sawyis , , mniSvnelobebs, miviRebT , , nebismier n mudmivze damokidebul
, , (3.7.4)
amonaxsns, romelsac (3.7.1) sistemis zogadi amonaxsni ewodeba.
gansazRvra 3.7.7. (3.7.4) amonaxsns ewodeba mdgradi amonaxsni, Tu sawyisi pirobebis mciredi cvlileba iwvevs amonaxsnis mcired cvlilebas.
gansazRvra 3.7.8. (3.7.1) sistemas ewodeba avtonomiuri sistema, Tu , , funqciebi uSualod araa damokidebuli -ze, e. i.
.
gansazRvra 3.7.9. Tu (3.7.1) sistemis zogad (3.7.4) amonaxsns nebismieri mudmivebis mimarT amovxsniT, miviRebT, rom
, . (3.7.5)
TiToeuls (3.7.5) gantolebebidan ewodeba pirveli integrali. pirveli integralebis (3.7.5) erToblioba Seadgens zogad integrals.
(3.7.1) sistemas SeiZleba hqondes uamravi pirveli integrali. imisTvis, rom miviRoT zogadi integrali, saWiroa, vipovoT n damoukidebeli pirveli integrali, e. i. iseTi, romelTa amoxsna SeiZleba , , , -is mimarT. amisTvis ki, aracxadi funqciis arsebobis Teoremis Tanaxmad, (3.5.7) sistemis Sesabamisi iakobiani
.
pirveli integralebis saSualebiT sistemis integreba gansakuTrebiT mosaxerxebelia, roca sistema simetriuli formiTaa Cawerili.
gadavweroT (3.7.1) sistema Semdegi saxiT:
, ,
an gaSlili saxiT:
. (3.7.6)
Tu SemoviRebT
aRniSvnas, maSin SeiZleba, (3.7.1) sistema Semdegi simetriuli formiT gadaiweros:
,
sadac, gansaxilvel SemTxvevaSi, .
pirveli integralebis mosaZebnad gamoiyeneba integrebad kombinaciaTa meTodi. mis arss gavecnoT konkretul magaliTze.
magaliTi 3.7.10. ganvixiloT
(3.7.7)
sistema. proporciebis cnobili Tvisebis*) Tanaxmad, Tu proporciis pirvel wevrs gamovaklebT meores da pirvels gamovaklebT mesames, miviRebT Semdeg tol sidideebs:
, e. i. .
aqedan integrebiT gveqneba
,
saidanac
e.i.,
da, -is nebismierobis gamo,
. (3.7.8)
analogiurad, Tu meores gamovaklebT mesames, miviRebT
. (3.7.9)
magram (3.7.8) da (3.7.9) pirveli integralebi damoukidebeli araa. marTlac,
,
roca , . maSasadame, (3.7.8) da (3.7.9) pirveli integralebi damokidebelia.
SevniSnoT, rom meore pirveli integrali, romelic (3.7.8)-Tan erTad qmnis damoukidebel pirvel integralTa sistemas, aris
. (3.7.10)
amis dasamtkiceblad (3.7.7) toli usasrulod mcire sidideebi gavutoloT axali damoukidebeli cvladis diferencials
.
maSin, cxadia,
, , . (3.7.11)
SevkriboT es tolobebi:
. (3.7.12)
(3.7.11)-is pirvel tolobas gamovakloT meore toloba:
. (3.7.13)
(3.7.12) da (3.7.13)-dan, Sesabamisad, miviRebT, rom
, e. i.
da
, e. i. .
aqedan
.
maSasadame,
.
saidanac
maSin
da, sabolood, -is nebismierobis gamo, miviRebT (3.7.10) pirvel integrals.
axla davamtkicoT, rom (3.7.8) da (3.7.10) pirveli integralebi damokidebuli ar aris, marTlac,
,
roca .
3.7.1. `mtacebeli _ msxverplis~ maTematikuri modeli
3.6.2 paragrafSi Cven ganxilvis obieqtad aviReT populaciaSi individebis raodenoba da SevecadeT, Segveqmna romelime erTi calkeuli populaciis ganviTarebis maTematikuri modeli im pirobiT, rom populacia izolirebulia.
axla gadavdgaT Semdegi nabiji da ufro metad davuaxlovdeT realur situacias.
ganvixiloT ori saxeobis urTierTqmedeba. SeviswavloT ori `izolirebuli~ populaciis ganviTarebis dinamika sxvadasxva faqtorebis gaTvaliswinebiT.
sxvadasxva saxeobis or populacias Soris urTierTqmedebis meqanizmebi SeiZleba sam kategoriad davyoT:
a) konkurencia, rodesac erTi saxeobis ganviTareba meoris ganviTarebaze damTrgunvel zegavlenas axdens.
b) komensalizmi, rodesac erTi saxeoba meoris ganviTarebis stimulirebas axdens.
g) mtacebloba, rodesac erTi saxeoba (`mtacebeli~) meore saxeobiT (`msxverpliT~) ikvebeba da, maSasadame, misi raodenobis Semcirebas iwvevs, xolo `msxverpli~ xels uwyobs `mtaceblebis~ raodenobis zrdas.
Cvens mizans ar Seadgens saxeobaTa urTierTqmedebis am meqanizmebis detaluri ganxilva. SevecdebiT, maTematikuri modelis saSualebiT aRvweroT iseTi ori saxeobis populaciis ganviTarebis dinamika, romlebic erTmaneTTan `mtacebeli _ msxverplis~ principiT urTierTqmedeben.
maTematikuri modelis Sedgenisas vigulisxmebT, rom msxverpls yovelTvis aqvs saSualeba, ipovos sakvebi, xolo yoveli Sexvedrisas mtacebeli aucileblad klavs msxverpls, romelic misi erTaderTi sakvebia. cxadia, rom am daSvebis Sedegad miviRebT sakmaod `idealizebul~ models, romlis gamoyenebac mxolod zogierT SemTxvevaSi SeiZleba, Tumca am modelis saSualebiT bevri saintereso, praqtikisTvis mniSvnelovani daskvnis gakeTebaa SesaZlebeli.
Tu am situacias ganvixilavT, cxadi gaxdeba, rom mtaceblebis raodenoba manam imatebs, sanam maT sakmarisad aqvT sakvebi, e. i. sanam msxverpli sakmarisi raodenobiTaa. bolos da bolos dadgeba momenti, rodesac mtaceblebis zegavleniT msxverplis raodenoba sakmarisad Semcirdeba, am dros mtaceblebs sakvebi ar eyofaT da daiwyeba maTi raodenobis Semcireba. es iqamde migviyvans, rom mtaceblebis raodenobis Semcirebis gamo daiwyeba msxverplis raodenobis mateba. es kvlav miscems stimuls mtaceblebis raodenobis zrdas da a. S. cikli kvlav ganmeordeba. `mtacebeli _ msxverplis~ tipis urTierTqmedeba sakmaod xSirad gvxvdeba sxvadasxva praqtikuli amocanis Seswavlisas. problemis aqtualurobis gamo misi Seswavla bolo periodSi rogorc ekologiis, ise sxva dargis mecnierebis, maT Soris maTematikosTa, yuradRebis centrSi moeqca.
aRvniSnoT da -Ti Sesabamisad mtaceblisa da msxverplis raodenoba t momentSi. imisTvis, rom CamovayaliboT maTematikuri modeli, romelic garkveul miaxloebaSi populaciaSi individTa raodenobis cvlilebis dinamikas aRwers, gavakeToT ramdenime daSveba, rac amocanas gaamartives. jer erTi, davuSvaT, rom im SemTxvevaTa raodenoba, rodesac mtacebeli msxverpls klavs, damokidebulia maT SexvedraTa sixSireze. CavTvaloT, rom es sidide xy namravlis proporciulia. meore, ugulebelvyoT is dro, romelic mtacebels msxverplis SesaWmelad sWirdeba. rac Seexeba bunebrivi Sobadobisa da sikvdilis pirobebSi populaciis raodenobis cvlilebas, is (3.6.12) saxis lojistikuri gantolebebis saSualebiT aRvweroT.
(3.6.6) saxis lojistikuri gantolebis saSualebiT miviRebT, rom orive populaciaSi individTa raodenobis cvlileba aRiwereba Semdegi pirveli rigis diferencialur gantolebaTa sistemis saSualebiT:
, (3.7.14)
, (3.7.15)
sadac a, b, c da d garkveuli dadebiTi mudmivebia.
(3.7.14), (3.7.15) gantolebebi pirvelad gamoyvanil iqna 1925 wels da cnobilia lotka*)-volteras**) gantolebebis saxelwodebiT.
aq gaTvaliswinebulia is garemoeba, rom msxverplis ararsebobis SemTxvevaSi mtacebelTa raodenoba bunebrivi sikvdilis gamo iklebs (maT sakvebi ar aqvT) da amitom individTa raodenobis cvlilebis siCqare x sididis proporciulia proporciulobis uaryofiTi koeficientiT. msxverplis sakmao raodenobiT arsebobis SemTxvevaSi , mtacebelTa raodenoba izrdeba. analogiurad, mtaceblebis ararsebobis SemTxvevaSi msxverplTa raodenoba imatebs da am populaciaSi individTa raodenobis cvlilebis siCqare y sididis proporciulia proporciulobis dadebiTi koeficientiT (aq, iseve rogorc adre, vgulisxmobT, rom msxverplis sakvebis raodenoba SemosazRvruli ar aris). amave dros, Tu arseboben sakmao raodenobis mtaceblebi , maSin msxverplis raodenoba iklebs.
amocana jerjerobiT mTlianad dasmuli ar aris, unda iyos cnobili sawyis momentSi TiToeul populaciaSi individebis raodenoba. amrigad, (3.7.14), (3.7.15) gantolebebs unda daematos e. w. sawyisi pirobebi
, , (3.7.16)
sadac da mocemuli dadebiTi ricxvebia.
(3.7.14)-(3.7.16) amocana warmoadgens koSis amocanas pirveli rigis diferencialur gantolebaTa sistemisTvis. SevniSnoT, rom $3.6.2-Si ganxiluli koSis amocanebisgan gansxvavebiT ar arsebobs am amocanis amonaxsnis analizuri warmodgena. am amocanis amonaxsni SeiZleba miRebul iqnes mxolod ricxviTi meTodebis gamoyenebiT. rac Seexeba (3.7.14)-(3.7.16) koSis amocanis amonaxsnis arsebobas da erTaderTobas, igi gamomdinareobs Teorema 3.7.5-dan, radgan (3.7.14), (3.7.15) sistemis marjvena mxareebi y-is mimarT lipSicis pirobas akmayofilebs.
SevecadoT, gamovikvlioT (3.7.14)-(3.7.16) amocana da davadginoT kavSiri da funqciebs Soris. am mizniT SemoviRoT Semdegi aRniSvnebi:
, , , .
am aRniSvnebis Semdeg, radgan
(3.7.14)-(3.7.15) diferencialuri gantolebebi miiRebs Semdeg saxes:
, , (3.7.17)
sadac .
am diferencialur gantolebaTa sistemas daemateba
, (3.7.18)
sawyisi pirobebi, sadac
, , .
dasmuli amocanebis fizikuri Sinaarsidan gamomdinare, SemdgomSi Cven ganvixilavT (3.7.17), (3.7.18) amocanis dadebiT amonaxsnebs.
(3.7.17) gantolebaTa sistema Semdegi saxiT gadavweroT:
, . (3.7.19)
(3.7.19) sistemis meore gantoleba gavamravloT -ze da Semdeg es gantolebebi SevkriboT:
. (3.7.20)
amis Semdeg (3.7.19) gantolebaTa sistema Semdegi saxiT gadavweroT:
,
an rac igivea
, . (3.7.21)
(3.7.21) sistemis meore gantoleba gavamravloT -ze da mivumatoT pirvels, miviRebT:
.
es ukanaskneli gamovakloT (3.7.20) gantolebas, ris Semdegadac gveqneba:
.
vaintegroT es gantoleba -dan -mde, miviRebT:
, (3.7.22)
sadac
.
( 3.7.22) saSualebas iZleva, avagoT misi Sesabamisi wirebi H-is sxvadasxva mniSvnelobisTvis: ,, (ix. nax. 3.7.1).
nax. 3.7.1 nax. 3.7.2
rogorc vxedavT, sibrtyeze miviRebT Caketil wirTa ojaxs. davuSvaT, rom sawyisi monacemebi mocemulia wertilis traeqtoriaze, romelic mniSvnelobas Seesabameba. vTqvaT, wertili Seesabameba sawyis mniSvnelobebs, maSin, rogorc es nax. 3.7.1-dan Cans da . (3.7.17) sistemis pirveli gantoleba gviCvenebs, rom sawyis etapze U cvladi iklebs. analogiuri Tviseba gaaCnia V cvladsac. Semdeg, rodesac U miiRebs mniSvnelobas , maSin . Semdeg, -s cvlilebis garkveul SualedSi, V cvladi zrdas iwyebs, xolo U cvladi klebas agrZelebs. rodesac V miiRebs mniSvnelobas , maSin da am momentidan daiwyebs zrdas U cvladic da a. S. radgan wertili Caketil traeqtoriaze moZraobs, es imas niSnavs, rom gantolebaTa sistemis da amonaxsni periodul funqciebs warmoadgens, amasTan rxeva orive populaciaSi ( da funqciebis saSualebiT aRiwereba populaciebSi individTa raodenoba) sxvadasxva fazaSi xdeba. moviyvanoT da funqciebis tipuri grafiki im SemTxvevaSi, rodesac , , (ix. nax. 3.7.2).
SevniSnoT, rom radgan mtaceblebis sakvebis raodenoba SemosazRvrulia (es raodenoba msxverplis raodenobiT ganisazRvreba), amitom mtaceblebis populaciaSi individebis raodenobis aRwerisTvis mizanSewonilia (3.6.12) lojistikuri gantolebis gaTvaliswineba. maSin ori populaciis individTa raodenobis cvlileba `mtacebeli _ msxverplis~ tipis urTierTqmedebis SemTxvevaSi aRiwereba Semdeg diferencialur gantolebaTa sistemis saSualebiT:
, ,
sadac a, b, c, d, e garkveuli dadebiTi mudmivebia, xolo da kvlav Sesabamisad mtaceblisa da msxverplis raodenobas gamosaxavs t momentSi.
cxadia, rom Cven mier moyvanili maTematikuri modelebi ori populaciis urTierTqmedebis meqanizms garkveul, sakmarisad mkacri SezRudvebis pirobebSi aRwers. ufro zusti maTematikuri modelis Sesaqmnelad mravali sxva faqtori (mag., populaciis individTa asaki, gamravlebis sezonuroba, is, rom mtacebeli yoveli Sexvedrisas ver axerxebs msxverplis daWeras da a. S.) unda iqnes gaTvaliswinebuli. cxadia, am faqtorebis gaTvaliswineba maTematikuri models sakmaod gaarTulebs, magram samagierod ufro kargad aRwers realur situacias.
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