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Leqcia 11 normaluri saxis pirveli rigis diferencialur gantolebaTa sistemebi


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leqcia 11

3.7. normaluri saxis pirveli rigis diferencialur

gantolebaTa sistemebi

ganvixiloT erTi cvladis n ucnobi funqciis Semcveli pirveli ri­­gis n dife­ren­cialuri gantolebisgan Semdgari sistema, roca sis­temis yo­veli gantoleba Seicavs mxolod TiTo, erTmaneTisgan gan­sxva­vebul, uc­nobi fun­qci­is war­moe­buls da gantolebebi amox­sni­lia am warmo­e­bu­lebis mimarT, e. i.



, , (3.7.1)

sistema, sadac t damoukidebeli cvladia, xolo , , sa­Zie­be­li fun­qcie­bia. (3.7.1) gantolebebi arawrfivia, radgan funqciebi , , ucnobebis mi­marT, sa­zo­gadod, arawrfivi funqciebia.



gansazRvra 3.7.1. (3.7.1) gantolebaTa sistemas ewodeba normaluri sa­­­xis pir­ve­li rigis diferencialur gantolebaTa sistema.

gansazRvra 3.7.2. (3.7.1) sistemis amonaxsni raime intervalze ( da T fiq­si­rebulia) ewodeba uwyvetad diferencirebad (gawar­moe­bad) , , fun­­­q­ci­ebs, rom­lebic am intervalze akmayofileben (3.7.1) sistemas, e. i. mas igiveobad aqce­ven.

amocana 3.7.3. vipovoT (3.7.1) sistemis iseTi amo­­naxsni, ro­melic ak­mayofilebs

, , (3.7.2)

sawyis pirobebs, sadac , , mocemuli ricxvebia.



gansazRvra 3.7.4. (3.7.1), (3.7.2) amocanas ewodeba koSis amocana nor­­ma­­lu­ri sa­xis pirveli rigis diferencialur gantolebaTa sis­te­mis­Tvis.

Teorema 3.7.5. Tu , , funqciebi TavianTi argumentebis mi­marT aris Caketvaze uwyveti funqciebia da, garda amisa, cvla­debis mi­marT akmayofileben lipSicis

(3.7.3)

pirobas, maSin arsebobs iseTi, rom (3.7.1), (3.7.2) ko­Sis amocanas aqvs er­Tad­er­Ti amo­nax­sni wertilis Sem­­cvel midamoSi.

gansazRvra 3.7.6. Tu fiqsirebuli -sTvis davasaxelebT sxva­da­sxva sawyis , , mniSvnelobebs, miviRebT , , nebismier n mudmivze damo­ki­de­bul

, , (3.7.4)

amonaxsns, romelsac (3.7.1) sistemis zogadi amonaxsni ewodeba.



gansazRvra 3.7.7. (3.7.4) amonaxsns ewodeba mdgradi amonaxsni, Tu saw­­yisi piro­be­bis mciredi cvlileba iwvevs amonaxsnis mcired cvli­le­bas.

gansazRvra 3.7.8. (3.7.1) sistemas ewodeba avtonomiuri sistema, Tu , , fun­qci­ebi uSu­alod araa damokidebuli -ze, e. i.

.

gansazRvra 3.7.9. Tu (3.7.1) sistemis zogad (3.7.4) amonaxsns ne­bis­mie­ri mud­mi­ve­bis mimarT amovxsniT, miviRebT, rom

, . (3.7.5)

TiToeuls (3.7.5) gantolebebidan ewodeba pirveli integrali. pirveli integ­ra­le­bis (3.7.5) erToblioba Seadgens zogad integrals.

(3.7.1) sistemas SeiZleba hqondes uamravi pirveli integrali. imis­Tvis, rom mivi­RoT zogadi integrali, saWiroa, vipovoT n damou­ki­de­be­li pirveli in­teg­ra­li, e. i. iseTi, romelTa amoxsna SeiZleba , , , -is mimarT. amisTvis ki, aracxadi funqciis arsebobis Teo­re­mis Tanaxmad, (3.5.7) sistemis Sesabamisi iakobiani

.

pirveli in­teg­ra­lebis saSualebiT sistemis integreba gansakuTre­biT mosaxerxebe­lia, roca sistema simetriuli formiTaa Cawerili.

gadavweroT (3.7.1) sistema Semdegi saxiT:

, ,

an gaSlili saxiT:



. (3.7.6)

Tu SemoviRebT



aRniSvnas, maSin SeiZleba, (3.7.1) sistema Semdegi simetriuli formiT ga­­daiweros:



,

sadac, gansaxilvel SemTxvevaSi, .

pirveli in­teg­ra­lebis mosaZebnad gamoiyeneba integrebad kom­bi­na­cia­Ta meTodi. mis arss gavecnoT konkretul magaliTze.

magaliTi 3.7.10. ganvixiloT

(3.7.7)

sistema. proporciebis cnobili Tvisebis*) Tanaxmad, Tu proporciis pir­vel wevrs ga­mo­vaklebT me­o­res da pirvels gamovaklebT mesames, mi­vi­RebT Semdeg tol sidideebs:



, e. i. .

aqedan integrebiT gveqneba



,

saidanac


e.i.,


da, -is nebismierobis gamo,



. (3.7.8)

analogiurad, Tu meores gamovaklebT mesames, miviRebT



. (3.7.9)

magram (3.7.8) da (3.7.9) pirveli integralebi damoukidebeli araa. mar­Tlac,





,

roca , . maSasadame, (3.7.8) da (3.7.9) pirveli integralebi damokidebelia.

SevniSnoT, rom meore pirveli integrali, romelic (3.7.8)-Tan er­Tad qmnis damoukidebel pirvel integralTa sistemas, aris

. (3.7.10)

amis dasamtkiceblad (3.7.7) toli usasrulod mcire sidideebi ga­vu­to­­loT axali damoukidebeli cvladis diferencials



.

maSin, cxadia,



, , . (3.7.11)

SevkriboT es tolobebi:



. (3.7.12)

(3.7.11)-is pirvel tolobas gamovakloT meore toloba:



. (3.7.13)

(3.7.12) da (3.7.13)-dan, Sesabamisad, miviRebT, rom



, e. i.

da

, e. i. .

aqedan

.

maSasadame,



.

saidanac


maSin


da, sabolood, -is nebismierobis gamo, miviRebT (3.7.10) pirvel integrals.

axla davamtkicoT, rom (3.7.8) da (3.7.10) pirveli integralebi da­mo­kidebuli ar aris, marTlac,



,

roca .



3.7.1. `mtacebeli _ msxverplis~ maTematikuri modeli

3.6.2 paragrafSi Cven ganxilvis obieqtad aviReT populaciaSi indi­­videbis ra­o­­de­no­ba da SevecadeT, Segveqmna romelime erTi cal­keu­li populaciis ganvi­Ta­rebis maTe­ma­ti­kuri modeli im pirobiT, rom po­­pu­lacia izolirebulia.

axla gadavdgaT Semdegi nabiji da ufro metad davuaxlovdeT rea­lur si­tu­a­cias.

ganvixiloT ori saxeobis urTierTqmedeba. SeviswavloT ori `izo­li­­­re­bu­li~ po­­­pu­la­ci­is ganviTarebis dinamika sxvadasxva faqtorebis gaT­­valiswine­biT.

sxvadasxva saxeobis or populacias Soris urTierTqmedebis meqa­niz­me­bi Se­­iZleba sam ka­tegoriad davyoT:

a) konkurencia, rodesac erTi saxeobis ganviTareba me­oris gan­vi­Ta­re­ba­ze dam­Trgun­vel zegavle­nas ax­dens.

b) komensalizmi, rodesac erTi saxeoba meoris ganviTarebis sti­mu­li­­re­bas ax­dens.

g) mtacebloba, rodesac erTi saxeoba (`mtacebeli~) meore sa­xeo­biT (`msxver­­pliT~) ik­vebeba da, maSasadame, misi raodenobis Semcirebas iwvevs, xo­lo `msxver­pli~ xels uw­yobs `mtaceblebis~ raodenobis zrdas.

Cvens mizans ar Seadgens saxeobaTa urTierTqmedebis am meqanizmebis de­­ta­lu­ri gan­­xil­va. SevecdebiT, maTematikuri modelis saSualebiT aRvwe­roT ise­Ti ori sa­xe­­obis po­pu­laciis ganviTarebis dinamika, rom­le­bic erTmaneT­Tan `mtacebeli _ msxver­plis~ prin­ci­piT urTier­Tqme­de­ben.

maTematikuri modelis Sedgenisas vigulisxmebT, rom msxverpls yo­vel­­Tvis aqvs sa­­Su­a­leba, ipovos sak­vebi, xolo yoveli Sexvedrisas mta­cebe­li aucileblad klavs msxverpls, romelic misi erTaderTi sak­vebia. cxa­dia, rom am daSvebis Se­de­gad miviRebT sakmaod `idea­li­ze­bul~ models, rom­lis gamoyenebac mxolod zo­gi­erT SemTxvevaSi Se­iZ­le­­ba, Tumca am mode­lis saSualebiT bevri saintereso, praq­tikisTvis mniS­vne­lo­va­ni das­kvnis gakeTebaa SesaZlebeli.

Tu am situacias ganvixilavT, cxadi gaxdeba, rom mtaceblebis rao­de­noba ma­nam ima­­­tebs, sanam maT sakmarisad aqvT sakvebi, e. i. sanam msxver­­pli sak­ma­ri­si rao­de­no­bi­Taa. bo­­los da bolos dadgeba momenti, ro­desac mtaceb­le­bis zegavleniT msxver­plis ra­o­de­no­ba sakmarisad Sem­­cirdeba, am dros mta­ceb­lebs sakvebi ar eyofaT da da­iwyeba maTi ra­o­­denobis Semcireba. es iqamde mig­viyvans, rom mtaceblebis rao­de­no­bis Semcirebis gamo da­iwyeba msxver­plis raodenobis mateba. es kvlav mis­cems sti­muls mtaceblebis rao­de­no­bis zrdas da a. S. cikli kvlav gan­meordeba. `mta­ce­beli _ msxverplis~ tipis ur­Ti­erT­qmedeba sakmaod xSi­rad gvxvdeba sxvadasxva praqtikuli amocanis Ses­wavlisas. prob­le­mis aqtualurobis gamo misi Seswavla bo­lo periodSi ro­gorc eko­lo­giis, ise sxva dar­gis mecnierebis, maT Soris ma­Te­ma­tikosTa, yu­rad­Re­bis centrSi moeqca.

aRvniSnoT da -Ti Sesabamisad mtaceblisa da msxver­plis rao­de­no­ba t mo­mentSi. imisTvis, rom Ca­movayaliboT ma­Te­ma­ti­kuri mo­deli, romelic gar­kve­ul miax­lo­ebaSi po­pulaciaSi indi­vid­Ta rao­de­nobis cvlilebis dinamikas aR­wers, gavakeToT ram­­de­ni­me daS­veba, rac amo­canas gaamartives. jer erTi, davuSvaT, rom im Sem­­TxvevaTa rao­denoba, rodesac mtacebeli msxverpls klavs, damoki­de­­­bu­lia maT Sex­­ved­raTa sixSireze. CavTvaloT, rom es sidide xy nam­rav­lis pro­por­­ciulia. meore, ugu­le­belvyoT is dro, romelic mta­ce­bels msxver­plis Se­saW­me­lad sWirdeba. rac Seexeba bu­nebrivi So­ba­do­bisa da sik­vdi­lis pi­robebSi popu­la­ciis raodenobis cvlilebas, is (3.6.12) saxis lojistikuri gan­tolebebis saSua­le­biT aRvweroT.

(3.6.6) saxis lojistikuri gantolebis saSualebiT miviRebT, rom ori­­ve po­­pu­la­ci­aSi individTa raodenobis cvlileba aRiwereba Semdegi pir­­veli rigis dife­ren­ci­a­lur gan­to­lebaTa sistemis saSualebiT:

, (3.7.14)

, (3.7.15)

sadac a, b, c da d gar­kve­uli da­de­bi­Ti mudmivebia.

(3.7.14), (3.7.15) gantolebebi pirvelad gamoyvanil iqna 1925 wels da cno­­­bi­lia lot­­ka*)-volteras**) gantolebebis saxelwodebiT.

aq gaTvaliswinebulia is garemoeba, rom msxverplis ararsebobis Sem­­TxvevaSi mta­­­ce­bel­Ta raodenoba bunebrivi sikvdilis gamo iklebs (maT sakvebi ar aqvT) da ami­tom in­di­vidTa raodenobis cvlilebis siC­qa­­re x sididis proporciulia pro­por­­ciulobis uar­yofiTi koe­fi­cien­­tiT. msxverplis sakmao raodenobiT arsebobis Sem­TxvevaSi , mta­­ce­bel­Ta raodenoba izrdeba. analogiurad, mtaceblebis ar­ar­sebobis Sem­­Txve­vaSi msxverplTa raodenoba imatebs da am po­pu­la­cia­Si in­di­vid­Ta raodenobis cvli­lebis siCqare y sididis pro­por­ciu­lia pro­por­ciu­lobis dadebiTi koeficientiT (aq, iseve rogorc adre, vgu­lis­xmobT, rom msxverplis sakvebis raodenoba SemosazRvruli ar aris). ama­ve dros, Tu arseboben sakmao raodenobis mtaceblebi , maSin msxver­­plis raodenoba iklebs.

amocana jerjerobiT mTlianad dasmuli ar aris, unda iyos cno­bi­li saw­yis mo­men­tSi TiToeul populaciaSi individebis rao­de­no­ba. amri­gad, (3.7.14), (3.7.15) ganto­le­bebs unda daematos e. w. sawyisi pi­ro­bebi

, , (3.7.16)

sadac da mocemuli dadebiTi ricxvebia.

(3.7.14)-(3.7.16) amocana warmoadgens koSis amocanas pirveli rigis di­­ferencialur gan­­to­lebaTa sistemisTvis. SevniSnoT, rom $3.6.2-Si gan­xi­­­luli koSis amo­ca­nebis­gan gan­sxva­ve­biT ar arse­bobs am amocanis amo­nax­snis analizuri warmodgena. am amocanis amo­naxsni Se­iZ­le­ba miRe­bu­l iqnes mxolod ricxviTi meTodebis gamoyenebiT. rac Se­exeba (3.7.14)-(3.7.16) koSis amo­ca­nis amonaxsnis arsebobas da erTaderTobas, igi ga­mom­di­nareobs Teorema 3.7.5-dan, radgan (3.7.14), (3.7.15) sistemis marjvena mxareebi y-is mimarT lipSicis pirobas akma­yo­fi­lebs.

SevecadoT, gamovikvlioT (3.7.14)-(3.7.16) amocana da davadginoT kav­Si­ri da funqciebs Soris. am mizniT SemoviRoT Semdegi aRni­S­vnebi:



, , , .

am aRniSvnebis Semdeg, radgan



(3.7.14)-(3.7.15) diferencialuri gantolebebi mii­­Rebs Sem­deg sa­xes:



, , (3.7.17)

sadac .

am diferencialur gantolebaTa sistemas daemateba

, (3.7.18)

sawyisi pirobebi, sadac



, , .

dasmuli amocanebis fizikuri Sinaarsidan gamomdinare, SemdgomSi Cven ganvi­xi­lavT (3.7.17), (3.7.18) amocanis dadebiT amonaxsnebs.

(3.7.17) gantolebaTa sistema Semdegi saxiT gadavweroT:

, . (3.7.19)

(3.7.19) sistemis meore gantoleba gavamravloT -ze da Semdeg es gan­­tolebebi Sev­­kri­boT:



. (3.7.20)

amis Semdeg (3.7.19) gantolebaTa sistema Semdegi saxiT gadavweroT:



,

an rac igivea



, . (3.7.21)

(3.7.21) sistemis meore gantoleba gavamravloT -ze da mivumatoT pir­vels, mivi­RebT:



.

es ukanaskneli gamovakloT (3.7.20) gantolebas, ris Semdegadac gveq­ne­ba:



.

vaintegroT es gantoleba -dan -mde, miviRebT:



, (3.7.22)

sadac


.

(
3.7.22) saSualebas iZleva, avagoT misi Sesabamisi wirebi H-is sxva­­das­xva mniS­vne­lo­bis­Tvis: ,, (ix. nax. 3.7.1).



nax. 3.7.1 nax. 3.7.2
rogorc vxedavT, sibrtyeze miviRebT Caketil wirTa ojaxs. da­­­­vuSvaT, rom sawyisi monacemebi mocemulia wertilis traeq­­­toriaze, romelic mniSvnelobas Seesabameba. vTqvaT, wer­­­tili Seesabameba sawyis mniS­vne­lo­bebs, maSin, rogorc es nax. 3.7.1-dan Cans da . (3.7.17) sistemis pirveli gantoleba gviCvenebs, rom saw­yis etapze U cvla­­­di iklebs. analogiuri Tviseba gaaCnia V cvladsac. Semdeg, ro­de­­sac U miiRebs mniS­vnelobas , maSin . Semdeg, -s cvli­le­bis gar­kve­ul SualedSi, V cvladi zrdas iwyebs, xolo U cvladi kle­bas agrZelebs. rodesac V miiRebs mniSvnelobas , ma­Sin da am momentidan daiwyebs zrdas U cvla­dic da a. S. radgan wer­ti­li Caketil traeqtoriaze moZraobs, es imas niSnavs, rom gan­to­le­ba­Ta sistemis da amonaxsni periodul fun­qci­ebs war­moad­gens, amasTan rxeva orive populaciaSi ( da funqciebis sa­Sua­lebiT aRiwereba populaciebSi individTa raodenoba) sxvadasxva fa­zaSi xde­ba. moviyvanoT da funqciebis tipuri grafiki im Sem­TxvevaSi, rodesac , , (ix. nax. 3.7.2).

SevniSnoT, rom radgan mtaceblebis sakvebis raodenoba Semo­saz­Rvru­lia (es ra­o­­de­no­ba msxverplis ra­o­de­no­biT ganisazRvreba), amitom mta­ceblebis popu­la­ci­a­Si indivi­de­bis ra­o­de­no­bis aRwerisTvis mi­zan­Se­wo­nilia (3.6.12) lojistikuri gan­to­le­bis gaTva­lis­wi­neba. maSin ori po­pu­laciis individTa ra­o­de­no­bis cvlileba `mtacebeli _ msxver­plis~ ti­pis urTierTqmedebis SemTxvevaSi aRiwereba Semdeg diferencialur gan­to­leba­Ta sistemis saSualebiT:



, ,

sadac a, b, c, d, e gar­kve­uli da­de­bi­Ti mudmivebia, xo­lo da kvlav Sesa­ba­­mi­sad mtaceblisa da msxver­plis raodenobas gamosaxavs t mo­­­­mentSi.

cxadia, rom Cven mier moyvanili maTematikuri modelebi ori po­pu­la­­­ciis ur­Ti­erT­qme­debis meqanizms garkveul, sakmarisad mkacri Sez­Rud­­­vebis pirobebSi aRwe­rs. ufro zus­ti maTematikuri mo­­delis Se­saq­­­mne­lad mravali sxva faqtori (mag., po­pulaciis in­di­vidTa asaki, gam­­rav­lebis sezonuroba, is, rom mtacebeli yoveli Sexvedrisas ver axer­­­­xebs msxverplis daWeras da a. S.) unda iqnes gaTva­lis­wi­ne­bu­li. cxa­­dia, am faq­to­rebis gaTvaliswineba maTematikuri models sakmaod gaar­­Tu­lebs, magram samagierod ufro kargad aRwers realur si­tua­­cias.


*) .

analogiurad, da, sabolood,



*) a.j. lotka (1880-1949), amerikeli biofizikosi (daibada ukrainaSi)

**) v. voltera (1860-1940), italieli maTematikosi

leqcia 11




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