Ana səhifə

Использование анимационных технологий Mathematica 6 в задачах теоретической механики


Yüklə 322 Kb.
tarix26.06.2016
ölçüsü322 Kb.

Использование анимационных технологий Mathematica 6 в задачах теоретической механики

О. М. Капустина, доцент Московского государственного университета прикладной биотехнологии (МГУПБ),
kapustinaom@gmail.com,
Ю.Г. Мартыненко, профессор, заведующий лабораторией НИИ механики Московского государственного университета
имени М.В. Ломоносова, martynenkoyg@gmail.com


Приводится программа анимации различных режимов качения без скольжения по неподвижной горизонтальной абсолютно шероховатой плоскости тяжелого диска, снабжённого уравновешенным маховиком (неголономный диск-гиростат). Движение классического тяжелого диска получается в частном случае рассмотренной задачи при маховике, невращающемся относительно диска. Анимация движения сопровождается построением траектории точки контакта диска-гиростата и плоскости.

1. Введение


Качение круглого диска является одним из самых популярных примеров движения твердого тела с неголономной связью. В конце 19 века усилиями Г. Слессера [1] и других исследователей были получены уравнения движения катящегося диска. В работах С.А. Чаплыгина [2], П.Аппеля [3], Д.Кортвега [4] показано, что эти уравнения интегрируются в квадратурах. Гиростататическое обобщение этой задачи также сводится к интегрированию неоднородного гипергеометрического уравнения Гаусса и последующим квадратурам [5]. Интерес к задачам о движении диска-гиростата стимулируется проблемами конструирования одноколёсных роботов [6]. Поиск оптимальных энергетических и конструктивных решений связан с анализом неуправляемых свободных (баллистических) движений, которые могут использоваться в качестве основных режимов управляемых движений одноколесных роботов.

Современные высокопроизводительные компьютеры с соответствующим программным обеспечением существенно расширяют возможности трехмерной визуализации результатов решения задач теоретической механики.

Система символьных вычислений Мathematica позволяет не только эффективно составлять, преобразовывать, исследовать дифференциальные уравнения динамики механических систем [7], но и при помощи визуализации обеспечивать реалистические анимации рассматриваемых движений. Последняя, шестая, версия Мathematica имеет в своём арсенале несколько функций: Animate, ListAnimate, Manipulate, - значительно упрощающих построение анимаций. С помощью функции Manipulate возможно исследование влияния различных параметров на объекты Мathematica, в том числе и графические. Изменение параметра осуществляется многими удобными способами, один из которых – перемещение с помощью указателя мыши движка (слайдера) по шкале на экране.

Разнообразные опции и директивы графических функций Мathematica 6 способствуют созданию красочных, выразительных картин движения. Так, например, опция lighting даёт возможность имитировать освещение движущихся объектов. Директива Specularity определяет отражающие свойства поверхностей.

Обогащают анимацию звуковые эффекты, которые могут быть созданы средствами самой Мathematica 6 и других программ.

Проблема преобразования форматов решается с помощью функции Export. Эта функция позволяет сохранить полученные анимации в виде «avi» файлов, исполнение и преобразование которых не требует наличия на компьютере системы Мathematica 6.


2. Уравнения пространственного движения диска-гиростата, катящегося без скольжения по горизонтальной плоскости


Рассмотрим качение по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости тяжелого диска, несущего маховик, ось вращения которого перпендикулярна плоскости диска и проходит через его центр масс С.

Для определения положения диска-гиростата введём следующие системы координат: - неподвижная система координат, координатная плоскость которой совпадает с плоскостью качения диска-гиростата; - кёнигова система координат с началом в центре масс диска С и осями, параллельными осям системы координат; - подвижная система координат, жестко связанная с диском, с началом в его центре масс С и осью , перпендикулярной плоскости диска.

При условии, что маховик вращается вокруг оси , положение механической системы определяется шестью обобщёнными координатами: , где  координаты центра масс диска С относительно осей ,  углы Эйлера, задающие ориентацию системы координат относительно ( - угол прецессии, - угол нутации, - угол собственного вращения [8]), - угол поворота маховика относительно диска вокруг оси .

Рис. 1. Системы координат, определяющие положение диска-гиростата

Третья координата центра масс системы равна

,

где – радиус диска.

Отсутствие скольжения в точке контакта Р диска с неподвижной плоскостью представляет собой неголономную связь, уравнение которой имеет вид

(1)

где - векторы скорости точки Р контакта диска и плоскости, центра масс С и угловой скорости диска соответственно.

Уравнения движения диска-гиростата, полученные в [5] из уравнений Чаплыгина [8], вместе с (1) образуют замкнутую систему нелинейных дифференциальных уравнений десятого порядка



(2)

где , - моменты инерции маховика относительно осей соответственно, , m – масса диска, H - постоянный кинетический момент маховика относительно оси . Первые два уравнения в системе (2) представляют собой неголономную связь (1).


3. Программа анимации движения диска-гиростата


Ниже представлена программа Мathematica 6 создания анимации движения диска-гиростата, зависящей от кинетического момента маховика H и начальных условий .

Анимация строится на основе численного интегрирования уравнений (2), выполняемого с помощью функции NDSolve. Начальные значения координат могут быть приняты нулевыми за счёт соответствующего выбора систем координат.

Задание инерционных, геометрических параметров, ускорения свободного падения, интервала анимации

Определение переменной disk как списка графических примитивов Cylinder и Line, служащих для изображения на экране диска со спицами.



Определение переменной flywheel как списка графических примитивов Cylinder и Line, служащих для изображения на экране маховика со спицами.




Задание функции DiskGyrostatOnPlane, строящей на экране изображение диска-гиростата в момент времени tf.





В теле функции eqns – уравнения (2) и начальные значения переменных, soln – численное решение (2) на интервале времени [0, tf], TransformedDisk, TransformedFlywheel – объекты disk, flywheel соответственно в момент движения tf, Plane – область горизонтальной неподвижной плоскости, DiskGyrostatAndPlane – изображение плоскости и диска-гиростата, соответствующее найденному решению (2), TrajectoryContactPoint - траектория точки контакта диска-гиростата и плоскости.

Создание анимации движения диска-гиростата, зависящей от кинетического момента маховика Н и начальных значений . Кадры анимации строятся на интервале времени от 0,0001 до tk c шагом 0,01.




После исполнения программы на экране появится панель с указателями рис. 2. Перемещая с помощью мыши указатели и запуская анимацию, можно видеть различные режимы движения диска-гиростата вместе с траекторией точки его контакта с плоскостью.






Рис. 2. Окно просмотра анимации, зависящей от параметров

Анимация движения диска-гиростата при фиксированных параметрах реализуется функцией ListAnimate. В представленном ниже примере эта функция создаёт на временном интервале от 1 до tk анимацию таблицы из n кадров с шагом по времени .




В результате выполнения указанной программы появляется окно, показанное на рис.3.

Рис. 3. Кадр анимации движения диска-гиростата на плоскости



Преобразование последовательности кадров в файл формата «avi» можно осуществить с помощью функции Export.



Замечание. При исследовании пространственного движения диска, катящегося без скольжения по горизонтальной плоскости, достаточно использовать полученные выше результаты для маховика, невращающегося относительно диска.

Литература

  1. SlesserG.M. Notes on rigid dynamics. Quart. J. Of mathematics, 1861, v. 4, 65-77.

  2. Чаплыгин С.А. О движении тяжелого твердого тела вращения на горизонтальной плоскости. Собр.соч.т.1. М.-Л. ОГИЗ, 1948, 57-75.

  3. Appell P. Sur l'integration des equations du mouvement d'un corps pesant de revolution roulant par une are te circulaire sur un plan horizontal; cas particulier du cerceau // Rend. Circ. Mat. Palermo, 1900, v. 14, 1-6.

  4. Korteweg D. J. Extrait d'une lettre a' M. Appell // Rend. Circ. Mat. Palermo, 1900, v. 7, 7-8.

  5. Мартыненко Ю. Г. Устойчивость неуправляемых движений одноколёсного мобильного робота с маховичной системой стабилизации // Проблемы механики современных машин. Материалы международной конференции. Т. 1.—Улан-Удэ, 2000, 96-101.

  6. Мартыненко Ю. Г Управление движением мобильных колёсных роботов // Фундаментальная и прикладная математика, 2005, том 11, № 8, 29-80.

  7. Мартыненко Ю. Г. О матричной форме уравнений неголономной механики // Сборник научно-методических статей по теоретической механике. Вып. 23.—М.: Изд-во Моск. ун-та, 2000, 9-21.

  8. Маркеев А.П. Теоретическая механика. М.: ЧеРо, 1999, 572 с.

- -


Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©atelim.com 2016
rəhbərliyinə müraciət