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IntroduçÃO À economia da extraçÃo dos recursos naturais


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INTRODUÇÃO À ECONOMIA DA EXTRAÇÃO DOS RECURSOS NATURAIS
Alexandre Stamford da Silva e Fernando Menezes Campello de Souza, PIMES
“In addition to these public questions, the economics of exhaustible assets presents a whole forest of intriguing problems. The static-equilibrium type of economic theory which is now so well developed is plainly inadequate for an industry in which the indefinite maintenance of a steady rate of production is a physical impossibility, and which is therefore bound to decline”. Hotelling, 1931.

1. Introdução
Um assunto que há muito preocupa os pensadores e todos aqueles que têm alguma fascinação sobre o futuro da vida humana é o problema da escassez de recursos naturais. O economista Thomas Robert Malthus, no seu livro “Essay on the Principle of Population” (1798) foi um dos primeiros a prever a estagnação do crescimento econômico pela escassez de alimento, devido a um recurso exaurível, no caso, a terra produtiva. Malthus acreditava que, como a população crescia geometricamente e a terra era fixa, a escassez de alimento, que cresceria na melhor das hipóteses aritmeticamente, seria inevitável, e propunha alguns mecanismos de controle populacional. Surgiu assim, a idéia de que os recursos naturais acarretam um limite para o crescimento e para o tamanho sustentável da população total (Stamford, 1999a).

O desenvolvimento tecnológico, que elevou, de forma inacreditável, a produtividade do trabalho, não fazia parte do modelo conceitual de Malthus. Esse desenvolvimento frustrou as previsões deste economista e o “fantasma” da escassez de alimentos e da estagnação do crescimento econômico, foram esquecidas por algum tempo.

Na década de 70, devido aos dois choques do petróleo, intensificou-se as preocupações a respeito da escassez e criou-se um grande pessimismo sobre o panorama de crescimento econômico de longo prazo. Esse pessimismo refletiu-se no meio acadêmico através da incorporação dos recursos (energéticos) exauríveis nos modelos de crescimento econômico ótimo (Yang, 1995). Com esses estudos foi possível compreender várias propriedades dos recursos não renováveis sob o ponto de vista do seu papel na economia.

A economia dos recursos naturais, que se iniciou com os trabalhos de Gray (1914) e Hotelling (1931), estava de volta com toda a força e até hoje, apesar do foco central da preocupação ter mudado um pouco, continua em evidência.

O problema central da economia dos recursos naturais é determinar as políticas ótimas e as implicações teóricas da presença de recursos naturais na economia visando um crescimento econômico sustentável.

Para se abordar tal problema é necessário uma ferramenta matemática que trate de modelos dinâmicos, dado que nesta problemática a intuição pouco ajuda (Stiglitz, 1974a). Atualmente, esta ferramenta vem da teoria do controle ótimo e foi concebida pelo matemático russo Lev Semenovich Pontryagin que, nos idos de 1962, publicou The Mathematical Theory of Optimal Processes com outros autores, e seu trabalho, é hoje, o mais simples e significante desenvolvimento na teoria do controle ótimo (Iyanaga e Kawada, 1980). Desta forma, na seção seguinte será exposto um problema típico de controle ótimo, tratando especificamente da questão econômica dos recursos naturais exauríveis.

Na seção 3 serão apresentados os principais resultados da economia dos recursos naturais exauríveis. Não se pretende ser exaustivo apenas focar as principais idéias e discutir um pouco o modelo seminal da economia destes recursos. Na seção 4 faz-se os comentários finais.

O objetivo principal do trabalho é repassar, tanto quanto possível, um melhor esclarecimento e compreensão deste problema econômico da escassez de recursos naturais tão comentado nas três últimas décadas. Usa-se indistintamente os termos recursos naturais, recursos não renováveis e recursos exauríveis.


2. A Modelagem Econômica pela Teoria do Controle Ótimo
A formulação de um problema de otimização num contexto dinâmico pela teoria do controle ótimo considera alguns construtos e relações básicas e tem uma série de passos bem definidos. Os elementos fundamentais são: uma função objetivo que deve ser maximizada, as equações, algébricas ou diferenciais, que restringem as ações que podem ser tomadas sobre o sistema e que representam, de uma maneira geral, as condições de equilíbrio, e algumas condições de contorno (transversalidade), que explicitam os estados inicial e final da economia.
2.1 Funcional Objetivo
O funcional objetivo representa matematicamente, em termos de um número real, uma medida de eficácia quanto à satisfação do formulador de políticas. Ele mede o resultado operacional das políticas a serem implementadas e deve ser definido previamente. Sendo um funcional, os seus argumentos são funções, que por sua vez podem ser funções compostas e vetoriais. Estas, por seu turno, incluem termos de status quo e de políticas. A última variável independente é o tempo, variável esta fundamental no estudo de sistemas dinâmicos. Portanto, um funcional é uma função real de argumentos compostos vetoriais. Ele também é conhecido como critério (de otimização).

A relação entre políticas e status quo, e o indicador da satisfação fica, portanto, claramente explicitada na expressão analítica do funcional objetivo. O estabelecimento deste é o primeiro passo na formulação de uma política econômica; ele representa o que se quer.

Pelo teorema da representação de Riesz (Rudin, 1966), sob certas condições bem fracas, um funcional pode ser representado por uma integral. Os limites de integração definirão o intervalo de tempo de interesse. Assim, por exemplo, um formulador de políticas (um decisor), pode estar objetivando alcançar o maior lucro médio acumulado possível num determinado horizonte temporal, ou o maior lucro total acumulado. Outro exemplo de formulação de política seria a maximização do total do bem estar social numa faixa temporal predeterminada. Como a satisfação instantânea tem que ser avaliada, a fortiori, a cada momento, há que se introduzir um fator de ajuste que incorpore a questão da impaciência, trazendo para um mesmo instante todas as avaliações futuras. É o que se chama de trazer todas as avaliações para o seu valor presente. Essa impaciência traduz-se na taxa de desconto (impaciência) monetária ou social, dependendo do problema sendo tratado.

Uma vez escolhida a unidade (dimensional) do critério (por exemplo, dinheiro, quilos de alguma mercadoria, utiles de satisfação pessoal ou social, tempo em anos, etc), é preciso saber qual a natureza da relação matemática entre o status quo e as políticas, e essa unidade do critério; ou seja, é necessário um modelo matemático. Para se definir as condições sobre as políticas apropriadas não é necessário dispor-se de uma expressão analítica explícita, mas sim, de propriedades gerais dessa fórmula. Então, por exemplo, dinheiro pode ser o resultado de um lucro, que tem uma definição que pode ser explicitada matematicamente pela diferença entre a receita e o custo. É absolutamente necessário conhecer-se os argumentos da fórmula, mas mesmo que não se conheça a sua expressão analítica, tipicamente é possível, tanto extrair-se uma série de resultados não intuitivos, invisíveis a priori, quanto se confirmar observações empíricas, resultados intuitivos e elaboração de teorias mais avançadas.

Na notação matemática, o que foi dito acima é escrito como

onde t é o tempo, t0 e t1 são os instantes inicial e final, respectivamente,

é a política (forças de controle, ou variáveis de controle),

representa o status quo no instante t (são as variáveis de estado) e

é a função valor, v, ponderada pela função de impaciência (exponencial negativa do produto da taxa de impaciência - ou de desconto ou de juros - pelo tempo); a integral desta função, no intervalo definido, é o funcional objetivo a ser maximizado.

2.2 A Dinâmica do Sistema
Os instrumentos de política não têm um efeito instantâneo em termos de uma mudança abrupta do status quo. Tipicamente a natureza não dá saltos. Existe sempre uma inércia inerente ao sistema que o caracteriza como um sistema dinâmico. Para que as políticas tenham um efeito é necessário, pois que decorra um certo tempo. No contexto econômico isto tem a ver, por exemplo, com o fenômeno da acumulação de capital. Numa analogia hidráulica, note-se que um tanque leva um certo tempo para ser enchido com água. Ou um certo tempo para ser esvaziado. O nível da água no tanque seria o status quo do sistema. Se em vez de um tanque considera-se um reservatório natural de água, ou uma mina, vê-se que o que se está tratando aqui é a dinâmica de exploração dos recursos naturais escassos, em alguns casos, não renováveis.

A noção básica a se considerar aqui é a de equilíbrio. Taxas de acumulação têm que ser equilibradas por fluxos de entrada. Assim, a água que vai sendo acumulada num tanque tem que ser equilibrada a cada instante de tempo pelo fluxo d’água na torneira de alimentação. Tem-se então que escrever os dois lados de uma equação: o lado esquerdo representando a taxa de acumulação e o direito representando o fluxo de entrada. No caso de um reservatório d’água usado para irrigação ou para gerar energia elétrica, trata-se da dinâmica de esvaziamento, portanto o fluxo será de saída (negativo) e não de entrada. A equação será pois


(2.2.1)
onde D(t) é o volume d’água armazenado no reservatório no instante t, EH é o fluxo d’água usado para a geração de energia elétrica e A é o fluxo d’água usado para fins não energéticos, como, por exemplo, para a irrigação (Stamford, 1999a). Note-se que os dois lados da equação têm que ser expressos em termos da mesma unidade física (m3/s, por exemplo, ou em Megawatts).

O mesmo tipo de raciocínio aplica-se para outras reservas, como petróleo, ouro, etc, enfim, para qualquer tipo de recurso natural exaurível.

Outra relação de equilíbrio diz respeito à identidade do investimento. Investe-se para acumular e repor capital. Tem-se portanto, em termos matemáticos,

(2.2.2.)

onde K é o capital,  é a taxa de depreciação do capital e I é o investimento.

As equações (2.2.1) e (2.2.2) são equações diferenciais. Suas incógnitas são, pois, funções do tempo e representam a evolução do status quo, isto é, das variáveis de estado do sistema.

A população (força de trabalho), também tem a sua dinâmica, que deve ser representada também por uma equação diferencial. Assim, por exemplo, pode-se escrever

onde L é a força de trabalho, e g é uma função a ser especificada dependendo do modelo populacional adotado. Alguns autores, como Stiglitz (1974a) e Solow (1974), consideram que, para se conseguir certos objetivos, a população não deveria crescer, nem decrescer, isto é, dever-se-ia ter g(L)=0, ou seja, dL/dt=0, uma população estacionária. Um equilíbrio perfeito entre o número de mortes e de nascimentos.

Para a sua solução, as equações diferenciais exigem que se conheça os parâmetros, a função de entrada (o termo independente das variáveis de estado), as condições de contorno (geralmente as condições iniciais e finais) e condições matemáticas para a existência de soluções (condições de Lipschitz).

De uma maneira geral um conjunto de equações diferenciais ordinárias pode ser escrito sob a forma de um sistema de n equações diferenciais de primeira ordem:

onde x(t) é o vetor de estado, de dimensão n, u(t) é o vetor de controle, de dimensão p e f é o segundo membro da equação, uma função vetorial com dois argumentos vetoriais e um escalar (o tempo) que tipicamente deve satisfazer a uma condição de Lipschitz (continuidade) para que se tenha garantia da existência de solução no sentido clássico (vide Pontriaguine, 1969, para maiores detalhes).


2.3 As Equações de Balanço
Há que se considerar também outras relações de equilíbrio que reflitam as demais restrições do sistema. Assim, por exemplo, só se pode investir ou consumir aquilo que se produziu. Esse balanço traduz-se na conhecida identidade da renda, que matematicamente é expressa por:

Y = C + I

onde Y é a renda da economia (PIB), C é o consumo e I é o investimento. A tecnologia é expressa pela função de produção, que relaciona o PIB com os fatores de produção, capital e trabalho. No caso mais agregado tem-se, matematicamente,



Y = F(K, L)

onde K é o capital e L é o trabalho.

Na verdade a identidade da renda origina-se de uma hipótese neoclássica mais básica que é o equilíbrio entre oferta e demanda. A oferta é F(K,L) e a demanda é C+ I. Os fatores de produção podem ser mais explicitados, para que se possa estabelecer políticas ótimas para este ou aquele setor de interesse. A função de produção pode ter então como argumentos explícitos a energia, a água, a terra, a tecnologia, um recurso exaurível genérico, etc, inclusive com setorializações.

Equações algébricas semelhantes podem ser necessárias dependendo do contexto específico. Balanços energéticos, partição da força de trabalho, balanços materiais, etc, são as relações que aparecem nesses modelos dinâmicos.


2.4 As Restrições nas Variáveis de Estado e de Controle
Dependendo do estudo, há uma flexibilidade na escolha dos instrumentos de política (variáveis de controle). Em se tratando de recursos naturais exauríveis, pode-se usar as taxas de extração destes recursos como variáveis de controle, ou a alocação das forças de trabalho nos diversos setores. Ambas não podem ser usadas simultaneamente, senão o sistema seria “supercontrolado”, ou seja, incorrer-se-ia em impropriedades conceituais básicas de sistemas dinâmicos. Note-se que as variáveis de estado jamais podem ser instrumentos de política, dado que possuem dinâmica própria, regida pelo sistema de equações diferenciais do qual são incógnitas. A escolha deste ou daquele conjunto de variáveis para ser o instrumento de política depende do paradigma aceito pelo formulador de políticas. As políticas ótimas a serem obtidas e as trajetórias das variáveis de estado, naturalmente dependerão do paradigma adotado.

É necessário estar-se atento às restrições naturais nesses sistemas dinâmicos. Usar mais combustíveis do que as reservas disponíveis à economia, alocar para a atividade agrícola uma área de terra maior do que a que se dispõe, consumos negativos de bens, força de trabalho não positiva, etc, são exemplos de violações de restrições naturais intrínsecas. Portanto, tanto para as variáveis de controle (instrumentos de política) como para as de estado (status quo), há que se respeitar as restrições impostas pelo problema. As variáveis de estado e de controle só podem assumir valores, portanto, dentro de um conjunto viável ou admissível.


2.5 O Problema de Controle Ótimo
Um problema típico da teoria do controle ótimo tem a seguinte forma geral: um funcional objetivo que deve ser maximizado; as equações que restringem o funcional objetivo, que podem ser equações diferenciais (que regem os movimentos do sistema e por isso mesmo determinam onde o mesmo se encontra, isto é, em que estado ele está); e as condições de transversalidade (condições de contorno ou seja as condições iniciais e finais). Além disso, devem ser especificadas as variáveis de controle com o objetivo de evidenciar quais as variáveis que serão controladas pelo agente através de normas ou políticas.

O funcional objetivo deve contabilizar os retornos obtidos pelo agente em questão; como o próprio nome sugere, deve refletir o principal objetivo do agente. As restrições sinalizam o conjunto viável pelo qual poderão passar os valores da função objetivo; ela delimita o espaço de ações do agente. As condições de transversalidade fornecem informações de onde se está partindo e onde e como se deseja chegar; essas condições podem ser ou não restritivas aos objetivos do agente.

Em resumo, matematicamente o problema é:

sujeito a:







.

Onde I(...) e f(...) são funções continuamente diferenciáveis; x0, t0 ; x1, t1 são parâmetros dados (ou T(x, t)=0 define uma superfície); e u(t), a trajetória do controle, deve pertencer ao conjunto de controle U. Para detalhes vide Pontryagin et al (1962) e Chiang (1992).


2.6 O Princípio do Máximo de Pontryagin
O princípio do máximo de Pontryagin trata diretamente com restrições gerais sobre as variáveis de controle e, diferentemente do cálculo das variações, sugere a natureza da solução. Essa abordagem tem sido o enfoque básico do cálculo de controles ótimos em muitos problemas importantes não só de economia como em qualquer outro sistema dinâmico.

As referências devem ser consultadas para se assenhorar dos detalhes, mas em linhas gerais, a aplicação do princípio do máximo de Pontryagin consiste em se introduzir as variáveis de co-estado y(t) (preços sombra), e uma função Hamiltoniana, ou Hamiltoniano (equivalente à função Lagrangiana do caso estático), que incorpora as restrições dinâmicas ao integrando do funcional objetivo, somando a este o produto das variáveis de co-estado pelo segundo membro da equação diferencial. Ter-se-á pois,



Maximiza-se então o Hamiltoniano por uma escolha de u como se esta variável fosse uma variável escalar. Trata-se de um problema de programação não linear. Obtém-se então u*=u*(x, y, t). Depois se monta e se resolve o seguinte sistema de 2n equações diferenciais:
.
Substituindo-se as soluções dessas equações na expressão de u* ter-se-á então a trajetória ótima do controle, ou seja, a política ótima.

Uma implicação do princípio do máximo é que, no caso em que o Hamiltoniano não depende explicitamente do tempo [H(x, u, y, t)= H(x, u, y)], o seu valor se mantém constante ao longo da trajetória ótima.

Outro resultado importante é que, uma vez maximizado o funcional objetivo, um aumento marginal em alguma variável de estado provoca um aumento no valor ótimo do funcional objetivo. A relação entre este aumento e o aumento marginal da variável de estado, é exatamente a variável de co-estado. Isto é,

.

Apenas a maximização do Hamiltoniano e a formulação das equações diferenciais, ou seja, o estabelecimento das condições necessárias de otimalidade, são suficientes para se conseguir as condições qualitativas a respeito das políticas ótimas, não havendo para isso necessidade de resolver os problemas matemáticos decorrentes. É assim que os resultados teóricos novos são obtidos. É aqui que a matemática mostra toda a sua força como instrumento epistemológico por excelência que é.

Cumpre salientar pois, um aspecto importante. As hipótese básicas do modelo devem ser colocadas explicitamente nas diversas expressões que aparecem no funcional objetivo, nas equações diferenciais, nas equações algébricas e nas restrições de desigualdade. Entretanto deve-se ter o cuidado de não se inserir nessas relações aquilo que poderia aparecer da mesma forma nos resultados, alguma idéia pré-estabelecida, pois o problema estaria sendo resolvido por hipótese. É importante ter-se consciência disto para evitar-se cair no erro de considerar como resultado, após qualquer análise, hipóteses explicitadas a priori. Por uma questão de necessidade lógica, é claro, os resultados estão implícitos, embutidos, invisíveis, nas hipóteses, e sua extração é feita pelo uso da análise matemática, etapa essencial no processo científico.

Note-se que a teoria do controle ótimo trata de problemas de economia, sem se preocupar com taxonomias do tipo “problema microeconômico ou macroeconômico”.



Uma boa interpretação econômica do princípio do máximo de Pontryagin aplicado à economia, para uma única variável de controle e uma única variável de estado, é exposta em Dorfman (1969). Para uma visão mais completa veja a parte três de Chiang (1992).
2.7 Discussões e Controvérsias nos Modelos1
Na otimização de modelos que incluem recursos exauríveis, cujo agente é a sociedade, surge, como uma das principais discussões, a forma da função objetivo. Essa discussão diz respeito à forma como a utilização dos recursos é feita pelas várias gerações. O que se discute é uma das suposições implícitas na teoria do crescimento econômico ótimo, de que os indivíduos são todos iguais, não só na geração atual mas, em todas as gerações futuras. Ou seja, a geração atual se sente igualmente satisfeita em poupar uma quantidade de recurso para a geração futura, ou em consumir o recurso hoje, contanto que esse consumo para a geração futura seja descontado a uma determinada taxa de juros. Assim, as gerações são hipoteticamente indivíduos semelhantes e com os mesmos interesses, a mesma utilidade. Essa hipótese implícita foi rotulada por Solow (1974) como sendo utilitariana no sentido acima descrito, e atribuída, principalmente, a Frank Ramsey. O que Solow (1974) discute em seu trabalho é se as críticas de Rawls (1971)2, que sugere uma distribuição igualitária entre gerações utilizando o critério maximin, tem implicações contundentes à abordagem utilitariana. O critério maximin preocupa-se em encontrar o maior consumo constante possível que possa ser mantido para sempre, ou de outra maneira, maximizar a utilidade de todas as gerações é o mesmo que maximizar a utilidade apenas da geração mais pobre. A conclusão de Solow é que, utilizar o critério maximin nos modelos utilitarianos não faz grandes reversões aos princípios básicos. Além disso, uma crítica que inviabiliza a troca da abordagem utilitariana por esse tipo de critério diz respeito ao grande e inexplicável estoque de capital que uma economia deve ter para que a pobreza não seja perpetuada, isto é, o critério maximin é inteiramente dependente das condições iniciais da economia. Quando a economia já for rica, ela permanecerá rica; se for pobre, permanecerá pobre; fica então difícil, principalmente para países em desenvolvimento, adotar qualquer condição de otimalidade sugerida pela análise de um modelo baseado nesse princípio. Apesar das críticas, o critério é analisado em vários trabalhos posteriores, como critério de comparação. A abordagem do critério maximin pode ser vista em Solow (1974), Endress and Roumasset (1994), Castro e Pereira (1996), e outros. Para uma abordagem e exemplos na estrutura utilitariana veja Hotelling (1931), Dorfman (1969), Intriligator (1971), Dasgupta & Heal (1974), Stiglitz (1974a e 1974b), Romer (1986), Grossman & Helpman (1991), Chiang (1992), Geldrop and Withagen (1993 e 1994), Endress and Roumasset (1994), Yang (1995), Campello de Souza (1997), Farzin (1999).

A evolução da força de trabalho, muitas vezes tratada como população, é outro ponto de controvérsias. A abordagem padrão neoclássica para a dinâmica da população, ou força de trabalho, é que ela tenha uma taxa de crescimento exponencial. Essa troca entre população e força de trabalho que é feita em modelos neoclássicos sem muitas explicações, se dá devido à hipótese básica de pleno emprego. Desde o tempo de Malthus que trabalhos empíricos endossavam o crescimento exponencial da população. Entretanto, países desenvolvidos apresentam taxas de crescimento populacionais que já não apoiam a hipótese, sendo essa ainda uma boa aproximação para países em desenvolvimento ou para outros, que ainda não atingiram seus limites (Solow, 1974). Solow afirma ser “ridiculous” essa suposição, pois sabe-se que, a população não pode crescer para sempre. Como o autor trata seus modelos para países desenvolvidos, assume uma população dada. Dasgupta & Heal (1974a e b) também assumem uma população dada, porém, o motivo pelo qual fazem isso é devido a acreditarem na necessidade de uma política de controle populacional, e o modelo desses autores parte da premissa de que a sociedade por eles tratada já discutiu e aceitou, como política ótima, uma taxa de crescimento populacional nula. Vários autores (Dorfman, 1969, Intriligator, 1971, Stiglitz, 1974a e 1974b, Chiang, 1992, Yang, 1995, Campello de Souza, 1997, Farzin, 1999) absorvem a hipótese de crescimento exponencial sem maiores discussões, decerto tratam de economias em desenvolvimento. Existe ainda a possibilidade de se driblar essas controvérsias simplesmente mascarando, através de unidades per capita, o crescimento populacional, é o que fazem Endress and Roumasset (1994), ou supondo que a função de produção, no caso discutido, não é afetada de maneira considerável pela variação desse insumo (Romer, 1986; Geldrop and Withagen, 1993 e 1994).

Quanto à acumulação de capital não há grandes controvérsias. A taxa de depreciação do capital é exponencial, e isso é um dado técnico, não há o que discutir, a não ser em casos muito especiais. Essa suposição é assumida ou não, dependendo da proposta de cada autor. A maioria dos autores quando não fazem uso da depreciação deixam bem claro que não estão assumindo depreciação de capital para simplificar o tratamento matemático do modelo (Hotelling, 1931, Solow, 1974, Dasgupta & Heal, 1974, Stiglitz, 1974a e 1974b, Romer, 1986, Geldrop and Withagen, 1993 e 1994, Farzin, 1999). Os demais autores citados, que usam modelos dinâmicos em suas abordagens, assumem a depreciação de capital.

Por fim, a dinâmica de uso do recurso exaurível não tem causado discussões.


3. Os Principais Resultados da Economia da Extração dos Recursos Naturais
As idéias de Malthus (1798) foram seminais para aguçar as preocupações com o esgotamento dos recursos consumidos pela humanidade. Gray (1914) tratou de maneira mais formal o problema. Ele examinou o comportamento da oferta, ao longo do tempo, de um extrator individual que antecipava uma seqüência de preços reais e tentava maximizar seus lucros descontados. Dezessete anos depois Hotelling (1931) estendeu a teoria de Gray estabelecendo a seqüência de preços de mercado que Gray assumiu como dada (Salant, 1995).

O trabalho de Malthus é observacional e as soluções propostas, que na verdade são sugestões, não são a resposta do seu modelo e não têm nada que garanta uma otimalidade para suas políticas. O trabalho de Gray dá um passo na formalidade para um modelo de intervenção política. Entretanto, é o trabalho de Hotelling que dá como resposta a política ótima, com o uso da ferramenta matemática mais avançada da época, o cálculo das variações. As políticas, no modelo de Hotelling, são provenientes das condições de otimalidade; por isso, a economia dos recursos naturais nasce com o trabalho de Hotelling. E é a partir deste ponto que serão expostos os principais resultados da economia dos recursos naturais.



3.1 O Modelo de Hotelling

O modelo original de Hotelling inclui várias hipóteses simplificadoras. Com o decorrer do tempo, ele recebeu várias generalizações que o tornaram mais realista e abrangente. O principal resultado do modelo de Hotelling ficou conhecido como a regra de Hotelling (“Hotelling’s rule”). Devido as simplificações adotadas por Hotelling (1931), o retorno referente a um bem não renovável, consistia inteiramente da observação do valor da reserva, e o equilíbrio de mercado requeria que o valor local, ou seja, o custo de oportunidade do recurso, crescesse à taxa de juros do mercado. Esta é a regra de Hotelling, um enunciado resumido da teoria dos recursos não renováveis (Krautkraemer, 1998).

A teoria do controle ótimo provem do aperfeiçoamento do uso do cálculo das variações (Dorfman, 1969). Desta forma, as abordagens são equivalentes. Atualmente o uso da teoria do controle se sobrepõe ao uso do cálculo das variações devido ao fato da primeira sugerir a natureza da solução. O modelo exposto a seguir é uma generalização do modelo básico de Hotelling, se forem usadas as mesmas simplificações deste autor, chegar-se-á aos mesmos resultados.

Seja e(t) a taxa de extração do recurso no decorrer do tempo, D(t) o estoque restante do recurso no local, B(e(t), D(t)) os benefícios brutos gerados pela extração e posse do estoque, C(e(t), D(t)) os custos de extração,  a taxa de desconto e D0 o estoque inicial. O modelo dinâmico é então:



(1)

sujeito a





(2)

Denotando a variável de co-estado (o preço sombra, o custo de oportunidade, o valor no local) do estoque do recurso descontada no instante t por(t) = et(t) e aplicando-se o princípio do máximo de Pontryagin ao modelo, tem-se o Hamiltoniano:

(3)

e as condições de otimalidade:



(4); (5).

Das condições (4) e (5) tem-se que:



(6); (7)

onde os subscritos denotam as derivadas parciais das função de benefício e custo com relação a eles e o tempo está posto de forma implícita.

Quando se iguala a derivada de otimização (4) a zero, é suposta uma solução interior. Entretanto, a derivada pode não ser nula se as funções benefício e custo forem funções lineares da extração do recurso, ou seja, se o custo e o benefício são diretamente proporcionais à taxa de extração do recurso. Quando isso ocorre tem-se uma solução bang-bang, vai-se usar toda a capacidade de extrair se a derivada for positiva e não se vai extrair nada se a derivada for negativa. Exemplos de solução bang-bang podem ser encontrados em Intriligator(1971), Chiang(1992) e Stamford(1999a.).

A condição de eficiência dinâmica (7) impõe que a taxa de retorno da posse do estoque do recurso - a soma entre o ganho de capital e o benefício marginal líquido gerado pelo estoque do recurso - seja igual a taxa de desconto (Krautkraemer, 1998). Para se obter a regra de Hotelling de (7) basta supor, como o fez Hotelling (1931), que não há efeitos de estoque, ou seja, as derivadas parciais com relação ao estoque são nulas. O que resulta em , que é a conhecida regra de Hotelling.

Além das condições (4) e (5) tem-se uma condição de transversalidade que requer uma maior avaliação quando o problema é de horizonte finito. Essa condição é necessária para determinar o valor inicial do custo de oportunidade (variável de co-estado). Ela determina que no tempo final o valor do estoque do recurso (custo de oportunidade vezes o estoque final) seja nulo, isto é, ou o custo de oportunidade deve ser nulo ou o recurso deve se exaurir (estoque nulo).

Supondo custo de extração nulo, do ponto de vista da maximização do bem estar social, a função de benefício é a área sob a curva da demanda. Então, o benefício marginal da extração, Be, é o preço do recurso. Assim, a condição de eficiência estática3 impõe, para uma solução interior, que o preço do recurso deve ser igual ao seu custo de oportunidade o que implica, pela condição de eficiência dinâmica, que o preço do recurso também deve crescer à taxa de desconto. Sem a suposição de custo de extração nulo algumas complexidades são adicionadas aos resultados do modelo. Um dos resultados interessantes que se obtém com a suposição de custo marginal constante é a de que o preço do recurso cresce menos que a taxa de desconto. O resultado é dito interessante pelo simples fato de se observar empiricamente tal implicação.

Avanços tecnológicos, qualidade do recurso, efeitos de estoque, custos crescentes, exploração variável, restrições de capacidade, restrições de investimento em capital, imperfeições de mercado e intervenção governamental são algumas das complexidades incorporadas ao modelo básico de Hotelling que compõem os estudos da economia da extração de recursos naturais.
3.2 Tecnologia de backstop: A Regra de Ouro do Crescimento Sustentável numa Economia de Recursos Naturais Exauríveis
3.2.1 Introdução
O conceito de tecnologia de backstop foi criado por Nordhaus em 1973 (Yang, 1995). Ele é bastante intuitivo e também é um resultado teórico. As tecnologias de backstop são as conhecidas tecnologias economicamente inviáveis. Desalinização, energia solar, energia eólica, etc são exemplos de tecnologia de backstop. A idéia é a seguinte: à medida que um bem vai se exaurindo, seu custo e seu preço vão aumentando até o ponto em que se torna maior que o custo da tecnologia de backstop; é quando esta entra no cenário econômico para garantir a continuidade do crescimento (Stamford, 1999a). Esse conceito foi usado por Endress e Roumasset (1994) para modificar as tão conhecidas regras de ouro, colocando-as no contexto de recursos sustentáveis. Nesta seção apresenta-se o modelo e a solução do modelo de Endress e Roumasset e no final debate-se a respeito.
3.2.2 O Modelo
O modelo a ser debatido usa as hipóteses clássicas com relação à função de produção, ou seja, que ela é homogênea de grau um, tem retorno constante de escala, produz um único bem homogêneo e é duas vezes diferenciável com respeito aos insumos. Entretanto tal função depende, além dos insumos capital (K) e trabalho (L) como no caso clássico, do recurso natural (R). A produção é dividida entre o investimento, o consumo e o custo de se disponibilizar o recurso natural. Sendo  o custo unitário do recurso natural então onde é o investimento e  é a taxa de depreciação do capital. Assim, a equação dinâmica básica do modelo é

(8)

Considera-se que o recurso de backstop não será utilizado até que o custo unitário de extração, , aumente para o custo de backstop, b.

Até a transição para o recurso de backstop, existe uma restrição finita no estoque do recurso:

(9)

Supondo que, dada uma determinada quantidade inicial, a força de trabalho cresça a uma taxa n e sabendo-se da homogeneidade da função de produção pode-se definir duas razões, k=K/L e r=R/L. Pode-se assim achar uma nova equação dinâmica para a acumulação do capital:



(10)

onde c é o consumo per capita e n.


Utilizando-se a medida convencional de bem estar social (Endress e Roumasset, 1994) e incluindo a preferência temporal, a regra de ouro para recursos exauríveis pode ser obtida do seguinte modelo:

(11)

Sujeito a



(11.a)

(11.b)

(11.c)

Considera-se que, para algum tempo endógeno, T, o custo unitário, , do recurso exaurível ultrapasse o custo de backstop, b, e a transição para a substituição do recurso é feita.


3.2.3 As Condições de Otimalidade
Como existe uma restrição de desigualdade, o Hamiltoniano deve ser ampliado para a seguinte forma Lagrangiana:

L = H +  [b-],

onde (12)

A condição de complementariedade relacionada com a restrição de desigualdade é dada por:

A aplicação do princípio do máximo dá origem às condições de eficiência:

(13)

(13’)

(14)

“A equação (13) é essencialmente a regra de Hotelling em um contexto de equilíbrio geral” (Endress e Roumasset, 1994, p. 270). Para custo nulo e sem considerar a depreciação do capital, a equação (13) estabelece que o retorno da acumulação do capital (fK) e o retorno do consumo do estoque do recurso exaurível devem ser iguais. A equação (14) é a conhecida relação de poupança ótima de Ramsey (Yang, 1995).


3.2.4 O Crescimento Sustentável
As condições para existência de um ponto de equilíbrio, supostamente único, são que não haja mais variações nas variáveis que regem o sistema, no caso nas variações das razões c, r e k. De (14):

Duas condições definem agora as regras de ouro para um crescimento sustentável:

(15)

“Não existe nenhum pressuposto de que o estado de equilíbrio e o backstop sejam atingidos simultaneamente” (Endress e Roumasset, 1994, p.271)

Para que o crescimento representado pelo modelo seja sustentável é necessário que o nível de bem estar social, medido pela quantidade de consumo por trabalhador, seja maior que este mesmo nível na ausência da tecnologia de backstop. Outros níveis de comparação podem ser utilizados, como o do princípio maximin (Solow, 1974).

Com as suposições de que o nível de equilíbrio, c*, seja independente dos valores iniciais de capital e estoque do recurso e de que os impactos das variações da taxa de desconto e do custo unitário da tecnologia de backstop no ponto de equilíbrio sejam negativas, pode-se mostrar que é possível um crescimento sustentável com níveis maiores que os dois casos citados (sem a presença do backstop e maximin).

O equilíbrio nesse caso depende da taxa social de preferência e do custo unitário da tecnologia de backstop. O nível de consumo decresce com o aumento de . E, dado um custo unitário de backstop, , existe uma taxa social de preferência máxima abaixo da qual a regra de ouro proposta produz um nível de consumo per capita que excede o nível maximin. Desta forma, a regra satisfaz a sustentabilidade relativa com respeito ao critério maximin, no sentido de que atinge um nível maior de consumo por trabalhador.



4. Comentários Finais
A análise formal de Hotelling da exaustão de recursos não renováveis gera algumas implicações básicas a respeito de como a disponibilidade finita de um recurso não renovável afeta o preço do recurso e as trajetórias de extração.
A intuição econômica por trás destas implicações é relativamente direta:


  1. Um estoque de um recurso natural não renovável pode ser visto como um ativo que gera retornos ao longo do tempo.

  1. O fato de que com a extração existirá menos do recurso a ser extraído e consumido no futuro, gera um importante custo de oportunidade para os valores presentes da extração e do consumo de uma unidade do recurso.

  1. Uma firma de mineração que busca maximizar o valor presente do lucro leva em consideração este custo de exaustão do recurso no momento de tomar a atual decisão de extração: o valor marginal de extração do estoque do recurso - o preço do recurso (benefício marginal de extrair-se uma unidade a mais do recurso) menos o custo marginal de extração - deve igualar o valor de não se extrair do estoque do recurso - o custo de oportunidade marginal de extração (Krautkraemer, 1998), ou seja,

,

que é exatamente a condição de primeira ordem necessária de otimalidade (expressão (6)), a condição de eficiência estática. Note-se que essa conclusão só é válida quando a trajetória ótima da taxa de extração estiver no interior do conjunto de possibilidades da economia. Isto ocorre apenas quando o benefício e o custo de extração do recurso não forem diretamente proporcionais à taxa de extração.



  1. O equilíbrio de mercado dos recursos naturais requer que a taxa de retorno de preservar o estoque de recurso não renovável seja igual à taxa de retorno dos outros ativos.

Devido à clareza destes resultados teóricos, vários analistas de indústrias bem como avalistas de rendas nacionais, em seus esforços para avaliar os estoques das reservas de recursos naturais, têm usado o princípio de avaliação de Hotelling como uma estimativa (Bureau of Economic Analysis, 1994). Entretanto existe uma controvérsia com respeito a testes empíricos relacionados ao modelo básico de Hotelling. O princípio de avaliação de Hotelling, que consiste numa simples álgebra proveniente do seu modelo (onde V0 é o valor atual do estoque, S0 é o estoque do recurso, P0 o preço corrente do recurso e C0 o custo marginal unitário de extração) é o marcador mais usado para testar empiricamente este modelo (Davis e Moore, 1998.

Vários trabalhos empíricos mostram que, na maioria dos casos, o citado princípio superestima o valor das reservas (Davis e Moore, 1998 e Krautkraemer, 1998 citam vários desses trabalhos empíricos). Entretanto, de acordo com Salant (1995), embora testes econométricos tenham sido usados para questionar as predições do modelo de Hotelling, os dados usados nesses testes tornam os seus resultados questionáveis. Miller e Upton (1985)4 encontraram evidências empíricas nas quais as implicações do modelo de Hotelling explicam em grande parte as variações observadas nos preços dos recursos. Além disso, vários modelos com a estrutura básica de Hotelling, porém incorporando outros aspectos da problemática econômica da extração, aderem rigorosamente ao arcabouço de Hotelling. São os chamados modelos estilizados de Hotelling.

Hotelling (1931), no seu modelo básico, adota várias suposições não realistas, entre elas a de que a curva de demanda é estacionária, o custo de extração é constante e independente do estoque restante, a tecnologia de extração é fixa, as expectativas de preços são perfeitas, não há descoberta de novas reservas (o estoque do recurso é finito e conhecido), não há restrições na capacidade de extração, o recurso é homogêneo (sua qualidade não varia com a exaustão do estoque), não há externalidades negativas ambientais ao bem-estar social relacionadas à utilização do recurso, e não há imperfeições de mercado. Nota-se, então, que não faz o menor sentido esperar que estimativas do mencionado indicador, baseadas em dados empíricos, sejam capazes de se ajustar às variações de preço do recurso observadas. O modelo não é descritivo, não foi concebido para descrever a realidade; ele é normativo e esclarecedor, serve para ditar regras de otimalidade e esclarecer relações que não podem ser entendidas intuitivamente (Stiglitz, 1974a) e nem com modelos de estática comparativa.



Outro conceito importante para uma análise mais elucidativa da economia de recursos naturais exauríveis é o da tecnologia de backstop. Os modelos que incorporam este conceito geralmente não levam em consideração a inércia institucional, a prisão tecnológica (England, 1994) e os custos sociais relacionados à mudança tecnológica, fatores estes que se tornam um problema para eles devido à suposição de que a troca tecnológica ocorre antes da exaustão do recurso natural. De fato, a inércia institucional, caracterizada essencialmente pela não maleabilidade do capital investido na tecnologia de extração, não permitiria uma mudança radical de tecnologia. A prisão tecnológica também não permitiria a mudança instantânea da tecnologia, haja vista a dificuldade técnica. Finalmente, em muitos casos, os custos sociais relacionados à mudança tecnológica ensejam uma reação a uma mudança abrupta. Ademais, como no modelo de Hotelling, pode-se incorporar complexidades ao modelo de backstop de forma que os seus resultados sejam mais abrangentes e esclareçam outras questões relativas à economia da extração de recursos naturais.

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    1Stamford (1999b)

2 Citado por Solow (1974)

    3Os termos condição de eficiência dinâmica e estática foram retirados de Krautkraemer (1998).



    4apud Salant, 1995, p. 11


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