Fizika kafedrasi

1.Galileyning nisbiylik prinsipi

2.Eynshteynning mahsus va umumiy nisbiylik nazariyasi. Lorents almashtirishlari

3.Massa va energiya orasidagi boglanish. Klassik mehanikaning qo`llanish chegarasi.

Odatda tinch turgan K sanoq sistemasiga absolyut, to`gri chiziqli tekis harakatlanayotgan K sanoq sistemasiga esa nisbiy sanoq sistemasi deyiladi.

Faraz qilaylik, koordinatalari Х,У,Z bo`lgan K absolyut inertsial sanoq sistemasiga nisbatan tezlik bilan to`gri chiziqli tekis harakatlanayotgan, koordinatalari bo`lgan K nisbiy inertsial sanoq sistemasi berilgan bo`lsin(4–rasm). Boshlangich moment (t=0) va ikkala sistemaning O va O¹ koordinata boshlari ustma–ust tushib, vaqtdan keyin bu sistemalar 4–rasmda tasvirlangan holatda bo`lsin.

Bu momentdagi M moddiy nuqtaning K va K sistemalarga nisbat holatini aniqlovchi ga absolyut va ga esa nisbiy radius vektorlar deyiladi.

5–rasm.
nisbiy sistemaning t vaqtda ko`chish masofasi ga teng bo`lgan ga ko`chish radius–vektor deyilib, u quyidagiga teng

Agar M moddiy nuqtaning K va inertsial sanoq sistemalaridagi koordinalari Х,У,Z va bo`lib, sistema tezligi ning koordinat o`qlariga bo`lgan proeksiyalari bo`lsin. U vaqtda bir inertsial sanoq sistemasidan ikkinchisiga o`tishga imkon beradigan Galiley almashtirishlari quyidagicha bo`ladi:

sistemadan K ga o`tish	K sistemalan ga o`tish
x= у=

Shuni qayd qilish kerakki, barcha inertsial sanoq sistemalarida vaqt t ning o`tishi bir hil () , ya'ni invariant bo`lib, jismning massasi m esa o`zgarmas () qoladi.

Harakatlanayotgan M moddiy nuqtaning K va inertsial sanoq sistemalaridagi tezlanishlarining o`zaro boglanishini topish uchun jadvaldagi radius–vektorlardan vaqt bo`yicha birinchi tartibdi hosila olamiz:

(27)

bunda bo`lib, jismning K sistemadagi tezligi va esa jismning sistemadagi tezligi bo`lgani uchun (27) quyidagi ko`rinishga keladi:

Bu ifoda klassik mehanikada tezliklarning qo`shish qonunining matematik ifodasi bo`lib, u quyidagicha ta'riflanadi:

Moddiy nuqtaning K absolyut inertsial sanoq sistemasidagi tezligi nisbiy inertsial sanoq sistemadagi tezligi bilan sistema tezligining geometrik yigindisiga teng.

(28) dan yana vaqt bo`yicha birinchi tartibli hosila olamiz, moddiy nuqtaning K va inertsial sanoq sistemalaridagi tezlanishlarining boglanishlari kelib chiqadi:

bo`lib, va bo`lgani uchun

(29) dan ko`rinadiki, moddiy nuqtaning K va inertsial sanoq sistemalaridagi tezlanishlari bor hildir. Boshqacha qilib aytganda

Jismlarning tezlanishlari Galiley almashtirishlariga invariantdir.

Jismga ta'sir qilayotgan kuchning K va sanoq sistemalaridagi va ifodalaridagi va tezlanishlari (29) ga asosan o`zaro teng bo`lganligi uchun:

Shunday qilib, quyidagi umumiy hulosa kelib chiqadi.

Uzunlik, vaqtning o`tishi, jismning massasi, tezlanish va unga ta'sir qiluvchi kuchlar Galiley almashtirishlariga nisbatan invariantdir.

(29) va (30) ga asosan tezlanish va kuchlarning K va inersial sanoq sistemalarida bir hil namoyon bo`lishidan, Galiley o`zining nisbiylik prinsipini quyidagicha ta`riflaidi:

Barcha inersial sanoq sistemalarida mehanik tajribalar bir hil sodir bo`ladi. Bu prinsipni yana boshqacha tariflash mumkin.

Mexanik tajribalar yordamida inersial sanoq sistemaning tinch turganligini yoki to`gri chiziqli tekis harakatlanayotganligini aniqlab bo`lmaidi.Galileining bu nisbiylik prinsipini bazan nisbiylikning mehanik prinsipi deb ham yuritiladi. Mazkur prinsiplarga asosan, yana quyidagi hulosa kelib chiqadi:

Absolyut inersial sanoq sistemasiga nisbatan to`gri chiziqli tekis harakatlanuvchi barcha sanoq sistemalar ham inersial sanoq sistemalari bo`la oladi. Barcha ienrsial sanoq sistemalarida klassik mehanikaning qonuniyatlari bir hil bajariladi. Binobarin, inersial sanoq sistemalari o`zaro teng kuchli bo`lib, ulardan birortasini boshqasiga nisbatan imtiyozlisini ajratish mumkin emas.

2.Eynshteynning mahsus va umumiy nisbiylik nazariyasi. Lorens almashtirishlari. XIX asrning fiziklari ihtiyoriy fizik hodisani N`yuton qonuniga bo`ysunuvchi mehanik prosessga keltirib tekshirish mumkin deb hisoblar edilar. Biroq fanning rivojlanishi klassik mehanik qonun va tasavvurlari bilan mos kelmaydigan bir qancha hodisalarni kashf qilinishiga olib keldi.

Klassik mehanikaga asosan, olam fazosida Erni absolyut qo`zgalmas hisoblanardi. Binobarin, klassik mehanikadagi tezliklarni kushish qonuniga binoan yoruglikning tarqalish tezligi s=3 ∙10<sup>8</sup> m/s sistemasida yoruglikning tarqalish tezligi s hamma yo`nalishda bir hil va o`zgarmas ekanligi malum bo`ldi. Klassik mehanika va tajriba orasidagi chetlanishning kelib chiqish sabablarini aniqlash maqsadida Eynshteyn klassik mehanikadagi fazo sabablarini aniqlash maqsadida Eynshteyn klassik mehanikadagi fazo va vaqt tushunchalarini kaita ko`rib chiqdi va shu asosda 1905 yilda mahsus (hususiy) nisbiylik nazariyasini yaratdi. Bu nazariya yoruglik tezligidan kichik har qanday tezlik bilan harakatlanayotgan jismlarning harakat qonunlarini o`z ichiga oluvchi mehanika qonunlarining umulashmasidan iborat bo`lib, unga relyativistik mehanika ("katta tezliklar mehanikasi" ) deb nom berildi. Shunday qilib, relyativistik mehanika klassik mehanikagni inkor etmaydi, balki uni tatbiq qilish chegarasini belgilaydi.

Relyativistik mehanikaning mahsus nisbiylik nazariyasi asosida Eynshteynning quyidagi ikkita postulati yotadi:

1)Yoruglik teziligining doimiylik prinsipi:yoruglikning vakuumdagi tezligi (s) barcha inersial sanoq sistemalarida o`zgarmas bo`lib, manbalarning yoki qayd qiluvchi asboblarning harakatiga bogliq bo`lmaydi.

Mahsus nisbiylik nazariyasining birinchi postulatidan malum bo`ladiki, tabiatda yuz beradigan o`zaro tasir uzatilishining maksimal tezligi yoruglikning vakuumdagi tarqalish tezligi ga teng ekan. Bu prinsip klassik mexanikadagi tezliklarning qo`shish qonuniga mutlaqo ziddir.

Eynshteining mahsus nisbiylik prinsipi barcha inersial sanoq sistemalarning teng kuchli ekanligini va ulardan imtiyozlisini ajratish mumkin emasligini ifodalaydi.

Relyativistik mehanika mahsus nisbiylik nazariyaning postulatlari asosida Eynshteyn o`tkazgan matematik analizidan malum bo`ldiki, Galiley almashtirishlari bu postulatlarga to`gri kelmas ekan. Shunday qilib, Eynshteynning ko`rsatishicha relyativistik mehanikada Lorents almashtirishlari o`rinlidir. Bu almashtirishlarini yozish uchun bir–biriga nisbatan OX o`qi bo`ylab () absolyut (tinch) inersial sanoq sistemasiga nisbatan tezlik bilan harakalanayotgan ()–nisbiy inersial sanoq sistemasi berilgan bo`lsin.

Soddalik uchun, boshlangich moment (t=0) da sistemalarning koordinata boshlari ustma–ust tushsin. Unda biror vaqtdan keyin nuqtaning K va sistemalardagi koordinatalari va vaqtning o`tishini almashtirishga imkon beradigan formulalar quyidagicha:

Lorents almashtirishlari. dan K sistemasiga o`tish K dan sistemaga o`tish

bunda bo`lib, tezlik sistemasining K sistemaga nisbat tezligi, c–yoruglik tezligi

1.Ailanma harakat dinamikasining asosii qonuni

2.Bazi jismlarning inersiya momentlari

3.Harakat miqdori momentining saqlanish qonuni.Aylanayotgan jismning kinetik energijasi.

Ihtiyoriy shakldagi qattiq jism qo`zgalmas OO<sup>1</sup> o`q atrofida kuch ta`sirida aylanayotgan bo`lsin. Bunda jismning barcha nuqtalari markazi shu o`qda yotgan aylanalar chizadi. Jism barcha nuqtalarining burchak tezliklari va burchak tezlanishlari bir hil bo`lishi tushunardi.

Tasir qilayotgan kuchni uchta o`zaro perpendikulyar tasir etuvchilarga ajratamiz: o`qqa parallel F¹ , o`qqa perpendikulyar va o`qdan o`tgan chiziqda yotuvchi F<sup>1</sup> hamda F<sup>1</sup> va F<sup>11</sup> larga perpendikulyar F kuchlar. Malumki,jismni kuch qo`yilgan nuqta chizgan aylanaga urinma bo`lgan F tashkil etuvchi aylantiradi. F<sup>1</sup> va F<sup>11</sup> tashkil etuvchilar jismni aylantirmaydi. F kuchni aylantiruvchi kuch deb ataymiz. Maktab ftzika kursidan malumki, F kuchning tasiri faqat uning kattaligiga bogliq bo`lmay, u qo`yilgan A nuqtadan ailanish o`qigacha bo`lgan masofaga, yani kuch momentiga ham bogliq. F aylantiruvchi kuchning kuch qo`yilgan nuqta chizgan aylana radiusi r ga ko`paytmasi aylantiruvchi kuchning M momenti (aylantiruvchi momenti) deyiladi:

(31)

Butun jismni juda kichik zarralar–elementar massalarga fikran bo`lamiz. Garchi F kuch jismning biror a nuqtasiga qo`yilgan bo`lsa ham uning aylantiruvchi tasiri qattiq jismning barcha zarralariga beriladi: har bir elementar massaga elementar aylantiruvchi kuch qo`yilgan bo`ladi. N`yutonning ikkinchi qonuniga ko`ra,

bu erda Q_i –elementar massaga berilayotgan chiziqli tezlanish. Bu tenglikning ikkala qismini elementar massa chizayotgan aylananing radiusi r_i ga ko`paytirib va chiziqli tezlanish o`rniga burchak tezlanishini kiritib quyidagini hosil qilamiz:

kattalik elementar massaga qo`yilgan aylantiruvchi moment ekanini nazarga olib

deb belgilabi, quyidagini yozish mumkin:

Jismni tashkil qilgan barcha elementar zarralarga qo`yilgan aylantiruvchi momentlarni jamlab mana bunday yozamiz:

bu erda jismga qo`yilgan aylantiruvchi momenti, yani aylantiruvchi kuchning momenti, jismning inersiya momenti. Binobarin, jismni tashkil qilgan barcha moddiy nuqtalarning inersiya momentlari yigindisi jismning inersiya momenti deyiladi.

Endi formulani shunday yozish mumkin:

(34)

formula aylanish dinamikasining asosiy qonunini (aylanma harakat uchun N`yutonning ikkinchi qonunini) ifodalaydi:

–jismga qo`ylgan aylantiruvchi kuchning momenti jismning inersiya momentninng burchak tezlanishiga ko`paytmasiga teng;

–formuladan jismga aylantiruvchi moment tomondan beriladigan burchak tezlanish jismga inersiya momentiga bogliq bo`lishi ko`rinib turibdi: inersiya momenti qancha katta bo`lsa, burchak tezlanish shuncha kichik bo`ladi.

Binobarin,massa jismning ilgarilanma harakatidagi inertlik hossalarini ifodalaganidek, inersiya momenti jismning aylanma harakatdagi inertlik hossalarini ifodalar ekan. Biroq jismning inersiya momenti jism massasidan farq qilib, mumkin bo`lgan aylanish o`qlariga bogliq holda ko`p qiymatlarga ega bo`lishi mumkin. Shuning uchun, mazkur qattiq jismning inersiya momenti haqida gapirar ekanmiz, bu inersiya momentining qaysi o`qqa nisbatan hisoblanganligini ko`rsatish zarur. Amalda ko`pincha jismning simmetriya o`qiga nisbatan hisoblangan inersiya momentlari bilan ish ko`riladi.

(32)formuladan inersiya momentining o`lchov birligi kg∙m² ekanligi kelib chiqadi.

Agar aylantiruvchi moment M=const va jismning inersiya momenti bo`lsa, u holda formulani quyidagi ko`rinishda yozish mumkin:

(35)

yoki

bu erda t–jismning aylanish burchak tezligi dan gacha o`zgarishi uchun ketgan vaqt oraligi. Mt ko`paytma (kuch impulsi singari) kuch momentining impulsi deb, –ko`paytma ( m–harakat miqdori singari) harakat miqdorining o`zgarish qonunini (harakat miqdorining o`zgarish qonuni singari) ifodalaydi:

Biror vaqt oralig’ida jismning harakat miqdori momentining o`zgarishi huddi shu vaqt oraligidagi kuch momenti impulsiga tengdir.

Harakat miqdori momentining o`zgarish qonuni o`zgaruvchan aylantiruvchi moment, yani M≠const bo`lgan holda ham to`griligicha qoladi. Bu qonunni ham harakat miqdorining o`zgarishi haqidagi qonuni chiqarishda foydalangan mulohazalar asosida umumlashtirish mumkin.

6–rasm.
Massasi m , uzunligi l ,ko`ndalang kesim yuzi S va zichligi bo`lgan ingichga bir jinsli sterjen uning uchidan o`tuvchi OO<sup>1</sup> perpendikuljar o`qqa nisbatan aylana oladi deylik (6–rasm). Sterjenni uzunligi va masaasi bo`lgan n ta kichik elementlarga bo`lamiz. Har bir bunday elementning inersiya momenti () formulaga muvofiq, quyidagiga teng bo`ladi:

bu erda elementning aylanish o`qidan o`rtacha geometrik masofasi, va r_i lar mos ravishda elementning boshi va ohiridan ana shu o`qqacha bo`lgan masofalar. Biroq va , shuning uchun

Ohirgi tenglikning o`ng qismini n<sup>3</sup>ga ko`paytirib va bo`lib hamda va ekanini nazarga olib quyidagini hosil qilamiz:

Elementlar soni n ni cheksiz ko`paytirib, bu bilan ulardan har birining uzunligini cheksiz kichiklashtirib boramiz. U holda tarifga ko`ra, butun sterjenning inersiya momenti J barcha elementlar inercija momentlarining ( bo`lgandagi) limitiga teng bo`ladi, yani

Yigindini quyidagicha yozish mumkin:

Haqiqatan ham, bevosita hisoblashlar shuni ko`rsatadiki, bu tenglik n=1, n=2, n=3 va hokazolar uchun to`gri, demak, bu tenglik n=k uchun ham tugri bo`ladi. Endi uning n=k+1 uchun ham o`rinli ekanligini ko`rsatamiz:

Shunday qilib, ko`rsatilgan tenglik n ning hamma butun qiymatlari uchun. jumladan, uchun ham to`gri ekan. U holda quyidagicha yozish mumkin:

Ingichga sterjenning, uning o`rtasidan o`tgan perpendikulyar o`qqa nisbatan inersiya momentining formulasi ham huddi shunga o`hshash yo`l bilan chiqariladi.

m massali bazi jismlarning simmetriya o`qlari (OO¹) ga nisbatan inersiya momentlarini hisoblash formulalarini tayor holda keltiramiz.

1.Uzunlikdagi ingichka sterjenning inersiya momenti:

2.Bo`yi a va eni b bo`lgan brusokning inersiya momenti:

3.Tashqi radiusi R , ichki radiusi r bo`lgan halqaning inersiya momenti:

4.Radiusi bo`lgan yupqa devorli halqaning (chambarakning) inersiya momenti:

(38)formulada deb olib, (39) formulani chiqarish oson.

5. R radiusli disk (silindr) ning inersiya momenti:

(40)

(38) formulada deb olib, (40) formulani chikarish oson.

6. R radiusli sharning inersiya momenti:

(41)

Agar jismning aylanish o`qi simmetriya o`qiga parallel, lekin simmetriya o`qidan d masofaga siljigan bo`lsa, parallel siljigan o`qqa nisbatan inercija momenti Shtayner teoremasi deb atalgan munosabat bilan ifodalanadi:

bu erda J –jisming simmetriya o`qiga nisbatan inersiya momenti. Masalan, ingichka strejenning uning uchidan o`ziga perpendikulyar o`tgan o`qqa nisbatan inerciya momenti

ga teng bo`ladi.

Ilgarilanma harakat mehanikasi va aylanma harakat mehanikasining quyidagi qonunlari (formulalari) ni juftlab solishtirailik: N`yutonning ikkinchi qonunini aylanish dinamikasining asosii qonuni bilan, harakat miqdorining o`zgarish qonunini harakat miqdori momentining o`zgarish qonuni bilan, chiziqli tezlik ifodasini burchak tezligi ifodasi bilan solishtiraylik.Taqqoslanayotgan qonunlarning tariflari va formulalarning strukturalarida juda katta o`hshashlik ko`zga tashlanadi.

Ilgarilanma harakatni harakterlovchi har bir fizik kattalikka aylanma harakatni harakterlovchi bir fizik kattalik mos keladi. Masalan, chiziqli tezlikka burchak tezlik o`hshash, kuchga kuch momenti, massaga inersiya momenti va shunga o`hshash. Bu o`hshash kattaliklarni ko`zgazmali bo`lishi uchun jadvalga yozaylik:

Ilgarilanma harakat	Aylanma harakat
Vaqt t Chiziqli yo`l s Chiziqli tezlik Chiziqli tezlanish a Kuch F Massa m Kuch impul`si Ft Harakat miqdori m		Vaqt t Burchakli yo`l Burchakli tezlik Burchakli tezlanish Kuch momenti M Inersiya momenti J Kuch momentining impul`si Mt Harakat miqdori momenti J

Aylanma harakatning hamma qonunlari orasida ilgarilanma harakat qonunlarida qanday o`hshashlik bo`lsa, shunday o`hshashlik bor. Bundan foydalanib, jadval yordamida aylanma harakat uchun harakat miqdorining saqlanish qonuniga o`hshash qonunni yozamiz:

bu erda J_i va –izolyasiyalangan sistemani tashkil qiluvchi jismning inersiya momenti va burchagi tezligi. (43) formula harakat miqdori momentining saqlanish qonunini ifodalaidi:

Izolyasiyalangan sistemada barcha jismlarning harakat miqdori momentlari yigindisi o`zgarmas kattalikdir.

Bu qonun ham harakat miqdorining saqlanish qonuniga o`hshab tabiat va tehnikaning ko`p hodisalaridan namoyon bo`ladi. Birgina jismdan iborat izolyasiyalangan sistema uchun saqlanish qonuni (43) shunday yoziladi:

(44) formuladan jismning inersiya momenti o`zgarganda jismning aylanish burchak tezligi o`zgaradi degan hulosa chiqadi: J ning ortishi (kamayishi)ga ning kamaiishi (ortishi) mos keladi. Biz ko`rayotgan qonunning bu natijasi odatda aylanuvchi skameyka yordamida namoyish qilinadi. Qo`llari ikki yoqqa yozilgan odam Jukovskii skameikasida turib ailanadi. Sungra u kullarini tez tushiradi. Bunda uning inersiya momenti kamayib, aylanish burchak tezligi ortadi. Akrobatikada "salto–mortale" usuli va baletda "piruet" usuli hamda shunga o`hshashlar harakat miqdori momentining saqlanish qonuniga asoslangan. Barcha erkin giroskoplar shu qonun asosida ishlaidi: katta tezlik bilan aylanayotgan massa harakat miqdori momenti vektorini saqlaydi, yani o`zining aylanish o`qini o`zgarishsiz saqlaydi. Er o`qi vaziyatining turgunligi, uchib ketayotgan artilleriya snaryadi, miltiqdan otilgan o`qning bo`ylama o`qining turgunligi, harakatlanayotgan velosipedning vertikal turgunligi va shunga o`hshashlar ana shu qonunga asoslangan.

Yuqorida keltirilgan jadvaldan foydalanib, aylanma harakat qilayotgan jismning kinetik energiyasi (W_k.ayl) ifodasini ilgarilanma harakat qilayotgan jismning kinetik energiyasi ifodasiga o`hshashligidan yozamiz:

(45)

bu erda J –aylanayotgan jismning inersiya momenti, –aylanish burchak tezligi.

"Analogiya usuli" aylanma arakat qonunlariga qo`llashga haqli ekanligimizni yana bir marta ko`rsatish uchun formulani chiqaraylik. Aylanayotgan jismning r_i radiusli aylana bo`ylab tezlik bilan aylanayotgan massali bir zarrasining kinetik energiyasi quyidagiga teng:

bu erda –zarraning inersiya momenti, –jismning aylanish burchak tezligi. U holda jismni tashkil qiluvchi barcha zarralarning energiyalarining yigindisidan aylanaiotgan jismning kinetik energiyasini hosil qilamiz:

Aylanish kinetik energiyasi hisobiga jism ish bajarishi mumkin. Bu ish aylanish kinetik energiyasining o`zgarishi (kamayishiga) teng bo`lishi ravshan:

Bu erda va – boshlangich va ohirgi burchak tezliklari. Tehnikada mashinalar (thaktorlar, kemalar, prokat stanlari va shunga o`hshashlar) ning bir tekis yurishini ta`minlash uchun mahovikning kinetik energiyasidan foydalaniladi: nagruzka (yuklanish) to`satdan ortganda mashina to`htab qolmaydi, balki mahovikning aylanishi tufayli yigilgan kinetik energiya hisobiga ish bajaradi.

Agar jism bir vaqtda ham ilgarilanma harakatda, ham aylanma harakatda bo`lsa, uning kinetik energiyasi ilgarilanma harakatdagi kinetik eyergiyasi bilan aylanishdagi kinetik energiyasi yigindisiga teng bo`ladi:

(47)

bu erda m va J – jismning massasi va inersiya momenti, va – uning chiziqli va burchak tezliklari. Ko`p amaliy masalalarni echishda bu qoidani nazarga olosh kerak.